2019年高考数学一轮复习 第二十一章 概率统计 21.2 相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布讲义.doc

2019年高考数学一轮复习 第二十一章 概率统计 21.2 相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布讲义考点一相互独立事件1.(xx课标改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(xx湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)=,P(A2)=,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以XB.于是P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)=3=.3.(xx山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6)=P(A3B3)=.可得随机变量的分布列为012346P所以数学期望E=0+1+2+3+4+6=.4.(xx大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)教师用书专用(5)5.(xx陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=,P(B)=.事件A与B相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=,X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=+=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,X的分布列为X0123PX的数学期望EX=0+1+2+3=.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布1.(xx四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案2.(xx广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案3.(xx陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,利润=产量市场价格-成本,X所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.教师用书专用(4)4.(xx四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX=10+20+100-200=-.这表明,获得的分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.三年模拟A组xx模拟基础题组考点一相互独立事件1.(xx江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布与期望E(X).解析(1)设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P(M)=.答:这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.(2)X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140(单位:秒).P(X=0)=;P(X=20)=;P(X=40)=;P(X=60)=;P(X=80)=;P(X=100)=;P(X=120)=;P(X=140)=.所以X的分布列为X020406080100120140P所以E(X)=0+20+40+60+80+100+120+140=秒.2.(苏教选23,二,2,3,变式)学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85,求一次考试中,(1)三科成绩均未获得第一名的概率;(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率.解析分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A、B、C两两相互独立且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示.P( )=P()P()P()=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用BC+AC+AB表示.由于事件BC,AC和AB两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可知所求的概率P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=1-P(A)P(B)P(C)+P(A)1-P(B)P(C)+P(A)P(B)1-P(C)=(1-0.9)0.80.85+0.9(1-0.8)0.85+0.90.8(1-0.85)=0.329.即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布3.(苏教选23,二,5,变式)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率为,从B中摸出一个红球的概率为p.(1)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:恰好有3次摸到红球的概率;仅在第一次,第三次,第五次摸到红球的概率;(2)若A,B两袋中球数之比为12,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.解析(1)所求概率P1=10=.所求概率P2=.(2)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由题意知,=,得p=.B组xx模拟提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(xx南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得XB,P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,5.则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X的分布列为X012345P所以X的数学期望E(X)=0+1+2+3+4+5=.或E(X)=5=2.(xx江苏如皋高三上学期教学质量调研(三),23)已知两个城市之间由7条网线并联,这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3,现从中任选三条网线,设能够通过的信息总量为X,若能够通过的信息总量不小于8,则可以保持线路通畅.(1)求线路通畅的概率;(2)求线路通过信息量的概率分布及数学期望.解析(1)记“线路通畅”为事件A,则事件A包含X=8和X=9两个事件,且它们互斥,P(X=8)=,P(X=9)=,所以P(A)=P(X=8)+P(X=9)=+=.(2)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,则P(X=5)=,P(X=6)=,P(X=7)=,P(X=8)=,P(X=9)=.所以X的分布列为X56789P故E(X)=5+6+7+8+9=.C组xx模拟方法题组方法独立重复试验及二项分布一名学生骑自行车去上学,从他家到学校的途中有6个路口,假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解析(1)依据已知条件,可知XB.P(X=k)=,k=0,1,2,6.X的分布列为X0123456P(2)由题意知,Y的所有可能取值为0,1,2,3,6.Y=k(k=0,1,2,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第(k+1)个路口遇上红灯,则P(Y=k)=,Y=6表示路上没有遇上红灯,其概率P(Y=6)=.Y的分布列为Y0123456P(3)由题意可知,“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”,因此有P(X1)=1-P(X=0)=1-=.所以这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为.