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2019-2020 年高中数学 抛物线知识精讲 理 人教版第二册 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线 二. 重点、难点： 1. 定义：平面内到定点 F 与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线。 2. 标准方程： （） 3. 性质： （1）对称性：关于轴对称 关于轴对称 （2）顶点：（0，0） （3）离心率： 4. 参数方程： （为参数） 【典型例题】 例 1 求焦点在直线上的抛物线标准方程。 解： 与坐标轴交点为（4，0） （0， ） 所求抛物线方程 例 2 焦点在轴的抛物线与圆相交，它们在轴上方交点为 A、B，线段 AB 的中点在直线上， 求抛物线的方程。 解： 01)4(01422 xmxxym)6()( 方程的根为负数与矛盾 方程的根为正数与矛盾 A B（） 211212121 )()( xmxmxy 6)(2 AB 中点（， ） 若中点在上 )2,0(64m 例 3 P 为平面上一点，过 P 作与抛物线只有一个交点的直线可以作几条？ 解： 只有一条 在曲线上 只有两条 只有三条 例 4 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线方程。 解： 01)2(412xaxya5522AB 或 或 例 5 过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B ，求证：。 证明： 斜率不存在， ， 斜率存在 pxyk2)( 221pky 例 6 O 为原点， A、B 为抛物线，上两点，并且 OAOB， 求最小值； 弦 AB 中点 M 到直线距离最小值。 解： ： ： （） A（） B（） M（） （M， ） 5/2)1()(22kk 5 6 40758mind 例 7 求证：抛物线的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为 0。 证明： 设 A（， ）B（， ）C（， ）D（， ）在抛物线上 AB 中点 M（， ）N（， ） 若轴显然成立 AB、CD 均不垂直于轴 已知 同理： 04321 MNCDAB kyyyk 例 8 抛物线（）的焦点 F，过 F 的弦 AB 长为，O 为原点，求。 解： AB 斜率不存在 AB 斜率存在，设为pxyk2)( 04)2(22pkxkpmpmkS 24141212 综上所述 例 9 抛物线上，存在 P、Q 两点，并且 P、Q 关于直线对称，求的取值范围。 解： 方法一：设 P（， ）Q（， ） )()( 212121 xyy)2(211xk )11yy)(2kk0312184 方法二： 在形内 【模拟试题】 （答题时间：35 分钟） 1. 抛物线的焦点 F，准线交轴于 R，过抛物线上一点 P（4，4）作 PQ于 Q，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 抛物线与椭圆的公共弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知 A、B 是抛物线上两点，O 为原点，若且的垂心恰为抛物线的焦点，则 AB 的直 线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与直线交于两点，它们横坐标为， ，直线与轴交点为（）则， ，关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知动点 P（， ）满足 1243)2()1(52yxyx，则 P 点轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆 6. 两定点 A（， ） ，B（2， ）动点 P 在抛物线上移动，则垂心 G 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. P 为抛物线上一点，A（，0） ，最小值为，求。 8. 已知抛物线 C：及 A（2，1） ，P、Q 为抛物线上动点 的最小值； 的最大值。yx.FO 【试题答案】 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. 解： 设 P（， ）为抛物线上一点 0202020)( xaxyaxA )()1( 时 )1,(12ad 8. 解： ,lpdPAF P（，1） 此 Q（， ）
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