2019-2020年高中数学 双曲线知识精讲 理 人教版第二册.doc

2019-2020 年高中数学 双曲线知识精讲 理 人教版第二册 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 双曲线 二. 重点、难点： 1. 定义： caPF2|21 到两点距离之差为定值 2a 的点的轨迹。 2. 标准方程：或（） 3. 性质： （1）范围： ),(ax， （2）对称：x、y 轴为对称轴，原点为对称中心 （3）顶点： （4）渐近线： （5）离心率： 4. 第二定义： 到的距离与到直线：的距离之比为定值的点的轨迹为双曲线， （， ） 。 【典型例题】 例 1 求满足条件的双曲线的标准方程。 （1）一条渐近线是：，且过点的双曲线方程。 解： 双曲线 代入 A 其渐近线双曲线系 （2）求与双曲线有共同渐近线且焦距为 12 的双曲线。 解： 两解 例 2 P 为平面上一点，过 P 作双曲线只有一个交点的直线可作 n 条。 解： 切线 有一交点、交线 无 2（平渐） P 在线上 / 2（平渐） P 在渐近线上（非 O 点） /（本支） 1 P 在原点 02 02 例 3 P 为双曲线上一点（异于顶点） ， ，求。 解： 2121 4aFF22cos 相减 22)(b ctsin122bP 例 4 双曲线的右顶点为 A，P 为双曲线上一点（异于顶点）过 A 作渐近线的平行线交 OP 于 E、F。 （1）证 （2）双曲线上是否存在一点 P，使 解： ： ： ： ),(00aybxyxaF),(00aybxyxaE2202 02 |)1(|)1(| OPxkyaxbkOFEFE2| 20200|1yxbyS 四点 例 5 双曲线 C：，A（3，2） ，B（2，0） ，P 为双曲线上一点，求的最小值。 解： 25),(),(|1| ldlP xC0BA 例 6 双曲线 C：的一支上有不同的三点，它们与 F（0，5）的距离成等差数列。 （1）求。 （2）求证线段 AC 的中垂线过定点，并求此点。 解：A、B、C 到准线距离成等差数列 )(2)()( 2321 caycayc )2(63131xxy 过定点 例 7 双曲线的一条准线与实轴交于 D，过 D 引直线和双曲线交于 M、N，又过一焦点 F， 引一直线垂直于 MN 和双曲线交于 P、Q，证： |2| DFQ 。0 xy 解： )0,2(),(aFaD 设 MN 倾斜角为，PQ 为sinco2tytxlMN )2sin(cotyaxlPQ 分别代入 22)si()c( atta，2o)cos2t 即： 01cs2at， 0sin2cos22 att|o| 21DNM |cs| tFQP | N 例 8 过双曲线上任一点 P 的切线与双曲线的渐近线交于 A、B，求证：P 点为 AB 中点。 解：为双曲线上一点 过 P 的切线0121byax 消 y 02)( 24112 baxxyab 即 b 中点横坐标为 中点为 P 【模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 离心率为是双曲线为等轴双曲线的（ ） A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必 2. 下列双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 过 P（4，4）且与双曲线，只有一个公共点的直线有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 4. 过双曲线的一个焦点 F1且垂直于实轴的弦 PQ，而 F2为另一个焦点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的两条准线，把连结两个焦点的线段分成，则双曲线的离心率为（ ） 。 A. B. C. 2 D. 3 6. 连接双曲线和的四个顶点的四边形面积为 S1，连接四个焦点的四边形面积为 S2，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的等比中项。 8. 过双曲线上任一点 P 作双曲线的两渐近线的平行线，试证它们和两条渐近线所围成的 平行四边形的面积为定值。 【试题答案】 1. C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. C 7. 证： | 1121 aexPF 22yaxe 8. 设（不妨设 P 在右支） 过 P 作直线 交于 Qxaby)(00 |)(2|1| 0yxabO201|),(abyxlpd bayxdOQS2| 02