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,几代习题（第四章）,王小 六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,关于作业,第四章的习题解析参见笔记,错误的说法： 线性有关 （应该是线性相关） 不线性相关（应该是线性无关）,习题四(B) 10,1, 2, , t 线性无关,1, 2, , s 线性无关,1, 2, , t 线性无关,1, 2, , s 线性无关,“当且仅当” 其实就是 “充要条件”,要证两个方向,习题四(B) 10,1, 2, , t 线性无关,1, 2, , s 线性无关,错误的证法：,1, 2, , t 线性无关,由k1 1+k2 2+ks s = ，可得 k1=k2=ks = 0 .,k11+k2 (1+2)+ +ks (1+2+ +s ) = ,(k1+k2+ks)1+ (k2+ks)2+ +kss = ,1, 2, s 的系数全为0,1, 2, s 线性无关,习题四(B) 12,要求的是“充要条件”,向量组 1, 2, 3线性无关,由k1 1 + k2 2 + ks 3 = 可推出,k1=k2 =k3 = 0.,k1 1 + k2 2 + ks 3 = 只有零解, ( 1 , 2 , 3),k1 k2 k3,= ,只有零解, (a1 + b2 , a2 +b3 , a3 + b1),k1 k2 k3,= ,只有零解,习题四(B) 12, (a1 + b2 , a2 +b3 , a3 + b1),k1 k2 k3,= ,只有零解, (1, 2, 3 ),k1 k2 k3,= ,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,k1 k2 k3,= ,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,由1, 2, 3 的线性无关, ,习题四(B) 17,与第12题类似,习题四(B) 19,求极大无关组，两种方法 (1) 先求秩 r，找r个无关向量 (2) 将向量以列向量形式构成矩阵， 做初等行变换,习题四(B) 20(1),x y z,=,2y-3z y z,=,2 1 0,-3 0 1,y,+ z,基向量: (2 1 0), (-3, 0, 1),习题四(B) 20(2),2 3 6 9 2 4 5,2 0 0 0 1 0 0 0,基向量,行变换,2 3 6 9 2 4 5,0 0 3 0 0 2 0 -1,是基向量(参见引理4.1和例4.15),列变换,不是基向量,习题四(B) 23,1T 2T,1T 2T,=,C,1= c111+ c212 , 2 =c121+ c222.,C =,c11 c12 c21 c22,因为此时1 , 2 , 1 , 2是行向量，所以,1 2,1 2,=,CT,或者等价地，,25（1）向量组正交化后还需单位化,27,29 注意两点 : (AB)T=BTAT; 矩阵乘法不能随意交换,31 有两种角度：化成阶梯形；行列式,35 其实只需证向量组线性无关（因为已知解空间的维数是3）； 如果要说明向量组可以线性表示任一个解向量，请把系数求出来。,注：在此题的证明过程中，有些同学似乎 用了这样的错误结论：设k0,k1,kt不全为零， 然后得到k0+k1+kt不等于零.,方法一：令线性组合等于零，然后证系数全为零； 方法二：先证与Ax=的线性无关的解向量所构成的向量组是线性无关的（需证明），然后再证题中的向量组是无关的,36（2）要说明构成基础解系，前提是不为零向量,37 在求导出组的基础解系时，一定要利用导出 组的通解来求,40（1）与32题是一样的； （2）线性表示的系数最好要具体写出来.,有的书中此题答案有误：第一行第二个元素 应该为-1+2t,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章 矩阵 矩阵的定义和运算； 可逆矩阵:特殊矩阵; 分块矩阵:为了更方便的运算; 初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称阵),特征值,惯性指数,矩阵世界， 纷繁复杂， 如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基, 就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个 应用,刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间),刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系等,第三章 几何空间(R3): 可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。,第一章 行列式和方程组: 它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求解方程组的问题。,
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