2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1.doc

2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1一、选择题1以抛物线y22px(p0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为() A相交B相离C相切D不确定【解析】设P(x0，y0)，则以|PF|为直径的圆半径r.又圆心到y轴的距离d，该圆与y轴相切【答案】C2过点M(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线共有()A1 B2C3D4【解析】由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线【答案】B3设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，2)与F的距离为4，则k的值为()A4 B2C4或4D2或2【解析】由题意知抛物线方程可设为x22py(p0)，则24，p4，x28y，将(k，2)代入得k4.【答案】C4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2Dx2【解析】抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx.即xy，将其代入y22px2p2pyp2，所以y22pyp20.所以p2.所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.【答案】B5已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36D48【解析】不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3，故SABP61236.【答案】C二、填空题6抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_【解析】过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即2p16，所以抛物线的方程为x216y.【答案】x216y7设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_. 【解析】由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B将其代入y22px得p，则点B到准线的距离为p.【答案】8对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)则使抛物线方程为y210x的必要条件是_(要求填写合适条件的序号)【解析】由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上，所以适合又它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPOkPF1，也合适而显然不合适，通过计算可知不合题意应填序号为.【答案】三、解答题9如图223所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，求此抛物线的方程图223【解】过A，B分别作准线的垂线AA，BD，垂足为A，D，则|BF|BD|，又2|BF|BC|.在RtBCD中，BCD30，又|AF|3，|AA|3，|AC|6，|FC|3.F到准线距离p|FC|，y23x.10已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程【解】过焦点F，垂直于x轴的弦长为436，弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20，x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236.k.故所求直线的方程为y(x1)或y(x1)能力提升1过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于()A45B90C60D120【解析】如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.【答案】B2若点P在y2x上，点Q在(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为()A.1B1C2D1【解析】设圆(x3)2y21的圆心为Q(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ|的最小值设P点坐标为(y，y0)，则|PQ|.|PQ|的最小值为，从而|PQ|的最小值为1.【答案】D3(xx湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_. 【解析】依题意可知，机器人运行的轨迹方程为y24x.设直线l：yk(x1)，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20，由(2k24)24k40，得k21，解得k1或k1.【答案】k|k1或k14如图224，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值图224【证明】设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值