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2019-2020年高中数学 第四章圆与方程期末知识梳理 新人教A版必修21、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;(2)设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有;注:如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含; 当时,为同心圆。例9、已知直线l1:4xy0,直线l2:xy10以及l2上一点P(3,2)求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程解:设圆心为C(a,b),半径为r,依题意,得b4a.又PCl2,直线l2的斜率k21,过P,C两点的直线的斜率kPC1,解得a1,b4,r|PC|2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.例10已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(1,2),问这四点能否在同一个圆上?若能在同一圆上,求出圆的方程,若不能在同一圆上,说明理由。解:设经过A,B,C三点的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.则解此方程组,得所以,经过A、B、C三点的圆的标准方程是(x1)2(y3)25.把点D的坐标(1,2)代入上面方程的左边,得(11)2(23)25.所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,所以A,B,C,D四点在同一个圆上,圆的方程为(x1)2(y3)25.例11已知点P(x,y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求x2y的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值解:(1)设tx2y,则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点1.2t2,tmax2,tmin2.(2)设k,则直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点,1.k,kmax,kmin.
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