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2019-2020年高考数学复习 立体几何汇编16、如图,在四棱锥中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E、F分别是AP、AD的中点求证:(1)直线EF平面PCD;(2) 平面BEF平面PAD(19)(本小题满分13分)如图,为多面体,平面与平面垂直点在线段上,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形。()证明直线;()求棱锥的体积.17(本小题共14分)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.()求证:DE平面BCP; ()求证:四边形DEFG为矩形;()是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.20(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,且CEAB。 (I)求证:CE平面PAD;(11)若PA=AB=1,AD=3,CD=,CDA=45,求四棱锥P-ABCD的体积18(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱-的底面边长为2,侧棱长为,点E在侧棱上,点F在侧棱上,且,(I) 求证:;(II) 求二面角的大小。19(本题满分12分)如图3,在圆锥中,已知的直径的中点(I)证明:(II)求直线和平面所成角的正弦值18(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,QA平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD(I)证明:PQ平面DCQ;(II)求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值20(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形, (I)证明:平面SAB; (II)求AB与平面SBC所成的角的大小。19(本小题满分12分)如图,在四棱台中,平面,底面是平行四边形,60()证明:;()证明:20、(14分)已知是底面边长为1的正四棱柱,高。求: 异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数表示); 四面体的体积。19(本小题共l2分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1PA1C1,连接AP交棱CC1于D()求证:PB1平面BDA1;()求二面角AA1DB的平面角的余弦值;17(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为中点,平面, ,为中点()证明:/平面;()证明:平面;()求直线与平面所成角的正切值18(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,底面ABCD(I)证明:;(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高(20)(本题满分14分)如图,在三棱锥中,为的中点,平面,垂足落在线段上()证明:;()已知,求二面角的大小20(本小题满分12分,()小问6分,()小问6分) 如题(20)图,在四面体中,平面ABC平面, ()求四面体ABCD的体积; ()求二面角C-AB-D的平面角的正切值。(19)(本小题满分13分)本题考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.(I)证明:设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于OAB与ODE都是正三角形,所以=,OG=OD=2,同理,设是线段DA与FC延长线的交点,有又由于G和都在线段DA的延长线上,所以G与重合.=在GED和GFD中,由=和OC,可知B和C分别是GE和GF的中点,所以BC是GEF的中位线,故BCEF. (II)解:由OB=1,OE=2,而OED是边长为2的正三角形,故所以过点F作FQDG,交DG于点Q,由平面ABED平面ACFD知,FQ就是四棱锥FOBED的高,且FQ=,所以(17)(共14分)证明:()因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE/PC。又因为DE平面BCP,所以DE/平面BCP。()因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE/PC/FG,DG/AB/EF。所以四边形DEFG为平行四边形,又因为PCAB,所以DEDG,所以四边形DEFG为矩形。()存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点由()知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN。与()同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.20本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,几何体的体积等基础知识;考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力;考查数形结合思想,化归与转化思想,满分12分 (I)证明:因为平面ABCD,平面ABCD,所以因为又所以平面PAD。(II)由(I)可知,在中,DE=CD又因为,所以四边形ABCE为矩形,所以又平面ABCD,PA=1,所以18(本小题满分13分)证明:(1)中点,连接BO2直线BO2是由直线AO1平移得到共面。 (2)将AO1延长至H使得O1H=O1A,连接/由平移性质得=HB18本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推理论证能力。(满分12分)解法1:()由已知可得于是有所以又由 ()在中,由()可得于是有EF2+CF2=CE2,所以又由()知CF C1E,且,所以CF 平面C1EF,又平面C1EF,故CF C1F。于是即为二面角ECFC1的平面角。由()知是等腰直角三角形,所以,即所求二面角ECFC1的大小为。解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得 () (),设平面CEF的一个法向量为由即设侧面BC1的一个法向量为设二面角ECFC1的大小为,于是由为锐角可得,所以即所求二面角ECFC1的大小为。19(本题满分12分)解析:(I)因为又内的两条相交直线,所以(II)由(I)知,又所以平面在平面中,过作则连结,则是上的射影,所以是直线和平面所成的角在在解:(1)设,则 令 则 单调递增极大值单调递减由上表易知:当时,有取最大值。证明:(2) 作得中点F,连接EF、FP 由已知得: 为等腰直角三角形, 所以.18解:(I)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD,所以平面PDAQ平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DCAD,所以DC平面PDAQ,可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQQD所以PQ平面DCQ. 6分 (II)设AB=a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高,所以棱锥QABCD的体积由(I)知PQ为棱锥PDCQ的高,而PQ=,DCQ的面积为,所以棱锥PDCQ的体积为故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12分20解法一: (I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2, 连结SE,则 又SD=1,故, 所以为直角。3分 由, 得平面SDE,所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。6分 (II)由平面SDE知, 平面平面SED。 作垂足为F,则SF平面ABCD, 作,垂足为G,则FG=DC=1。 连结SG,则, 又, 故平面SFG,平面SBC平面SFG。9分 作,H为垂足,则平面SBC。 ,即F到平面SBC的距离为 由于ED/BC,所以ED/平面SBC,E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为, 则12分 解法二: 以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0)。又设 (I),由得故x=1。由又由即3分于是,故所以平面SAB。 (II)设平面SBC的法向量,则又故9分取p=2得。故AB与平面SBC所成的角为19(I)证法一:因为平面ABCD,且平面ABCD,所以,又因为AB=2AD,在中,由余弦定理得,所以,因此,又所以又平面ADD1A1,故证法二:因为平面ABCD,且平面ABCD,所以取AB的中点G,连接DG,在中,由AB=2AD得AG=AD,又,所以为等边三角形。因此GD=GB,故,又所以平面ADD1A1,又平面ADD1A1,故 (II)连接AC,A1C1,设,连接EA1因为四边形ABCD为平行四边形,所以由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1/EC且A1C1=EC,所以边四形A1ECC1为平行四边形,因此CC1/EA1,又因为EA平面A1BD,平面A1BD,所以CC1/平面A1BD。16解()折起前是边上的高,当折起后,AD,AD,又DB,平面,AD 平面平面ABD()由()知,DA,DB=DA=DC=1,AB=BC=CA=,从而 表面积:20、解: 连, , 异面直线与所成角为,记, 异面直线与所成角为。 连,则所求四面体的体积。解法一:()连结AB1与BA1交于点O,连结OD,C1D平面AA1,A1C1AP,AD=PD,又AO=B1O,ODPB1,又OD面BDA1,PB1面BDA1,PB1平面BDA1()过A作AEDA1于点E,连结BEBACA,BAAA1,且AA1AC=A,BA平面AA1C1C由三垂线定理可知BEDA1BEA为二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中,又,在RtBAE中,故二面角AA1DB的平面角的余弦值为解法二:如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1B1C1A,则,()在PAA1中有,即,设平面BA1D的一个法向量为,则令,则,PB1平面BA1D,()由()知,平面BA1D的一个法向量又为平面AA1D的一个法向量故二面角AA1DB的平面角的余弦值为(17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 ()证明:连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB/MO。因为平面ACM,平面ACM,所以PB/平面ACM。 ()证明:因为,且AD=AC=1,所以,即,又PO平面ABCD,平面ABCD,所以,所以平面PAC。 ()解:取DO中点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN/PO,且平面ABCD,得平面ABCD,所以是直线AM与平面ABCD所成的角,在中,所以,从而,在,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为(18)解:()因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD()如图,作DEPB,垂足为E。已知PD底面ABCD,则PDBC。由()知BDAD,又BC/AD,所以BCBD。故BC平面PBD,BCDE。则DE平面PBC。由题设知,PD=1,则BD=,PB=2,根据BEPB=PDBD,得DE=,即棱锥DPBC的高为(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 ()证明:由AB=AC,D是BC中点,得,又平面ABC,得因为,所以平面PAD,故 ()解:如图,在平面PAB内作于M,连CM。因为平面BMC,所以APCM。故为二面角BAPC的平面角。在在,在中,所以在又故同理因为所以即二面角BAPC的大小为20(本题12分)解法一:(I)如答(20)图1,过D作DFAC垂足为F,故由平面ABC平面ACD,知DF平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,设G为边CD的中点,则由AC=AD,知AGCD,从而由故四面体ABCD的体积 (II)如答(20)图1,过F作FEAB,垂足为E,连接DE。由(I)知DF平面ABC。由三垂线定理知DEAB,故DEF为二面角CABD的平面角。 在 在中,EF/BC,从而EF:BC=AF:AC,所以 在RtDEF中, 解法二:(I)如答(20)图2,设O是AC的中点,过O作OHAC,交AB于H,过O作OMAC,交AD于M,由平面ABC平面ACD,知OHOM。因此以O为原点,以射线OH,OC,OM分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2,故点A,C的坐标分别为A(0,1,0),C(0,1,0)。 设点B的坐标为,有 即点B的坐标为 又设点D的坐标为有 即点D的坐标为从而ACD边AC上的高为 又 故四面体ABCD的体积 (II)由(I)知 设非零向量是平面ABD的法向量,则由有 (1) 由,有 (2) 取,由(1),(2),可得 显然向量是平面ABC的法向量,从而 即二面角CABD的平面角的正切值为
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