2019-2020年高考数学复习点拨 投影法证空间直线与平面平行.doc

2019-2020年高考数学复习点拨 投影法证空间直线与平面平行在证明空间直线与平面平行时，除利用面面平行外，还有一种重要的方法就是利用线线平行即欲证直线，可证明平面内有一条直线与平面外的直线平行为此就要在平面内找到（或作出）直线但从哪个角度考虑才能较快地作出辅助线呢？以下我们来探讨一下先看下图，若，在直线上取两点，想象从空间一点发出的光线通过两点，照到平面上，投影点分别为，连结，则直线是直线在平面上的投影显然有（如图1，图2所示）这种形象化的思维，可以将大家的眼光一下子引向解题的正途即要证，只需要象这样找到的投影，证明即可其中，从一点看，得到投影的方法称为中心投影法以一束平行光照射，得到投影的方法称为平行投影法以下我们来看一下这两种方法的应用例1如图4，三棱锥中，分别是的重心求证：与平面的距离相等分析：本题即证平面由于从点看两点在平面内的投影分别是的中点，故宜于用中心投影法作辅助线证明：如图5，连结，连结并延长，交于，连结并延长交于，连结因为，故中从而平面，故与平面的距离相等例2如图6，为异面直线，分别是的中点，过作平面，求证：平面分析：从下方向上看，缺少一个观察点，要从上方的点看，可从点透过平面看，当然也可以从点看如图7，连结交平面于点，连结，易证，从而由，得又，得从点透过平面看，是观察点与直线分布在平面两侧的情况，也是投影法适合的一种类型以下看一个平行投影法的例子例3如图8，四棱锥中，平面，分别是的中点，求证：平面分析：从看，光线在平面上的投影点不好找中心投影法较难解决问题现考虑平行投影法：如图9，从两点分别引平行线与平面相交如图9，在平面内，作，连结，则，故四边形是平行四边形所以，平面下面这个例子，是了解了这两种方法后，从两个角度分别考虑，得出了两种方法，实现了一题多解例4如图10有公共边的两个全等矩形和不在同一个平面内分别是对角线上的点，且求证：平面分析一：（中心投影法）如图11，连结并延长交直线于，连结，则在平面内由，知又，故，所以因此，又不在平面内，所以平面分析二：（平行投影法）如图12，在矩形中作，交于，在矩形中作，交于，同样易证，所以平面