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专题三 突破解答题之 2函数与图象,函数及其图象是初中数学的重要内容.函数关联着丰富的 几何知识，且与许多知识有深刻的内在联系，又是进一步学习 的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综 合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样， 开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位. 函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思 想、函数与方程思想等.中考时常见的题型有图象信息题、代数 几何综合题、函数探索开放题、函数创新应用题等.应用以上数 学思想解决函数问题的题目是中考压轴题的首选.,函数图象和性质 例 1：(2017 年湖南邵阳)如图 Z3-1 所示的函数图象反映的 过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家， 其中 x 表示时间，y 表示小徐离他家的距离.读图可知菜地离小,徐家的距离为(,),图 Z3-1,A.1.1 千米,B.2 千米,C.15 千米,D.37 千米,思路分析小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一 次路程不再增加的开始，所对应的时间为 15 分，路程为 1.1 千 米.,解析：由图象可以看出菜地离小徐家 1.1 千米. 答案：A,名师点评本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确,理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键.,A,B,C,D,在第一象限有一个公共点，b0. 交点横坐标为 1， abcb. ac0. ac0. 一次函数 ybxac 的图象经过第一、三、四象限. 答案：B 名师点评考查了一次函数的图象，反比例函数的性质， 二次函数的性质，关键是得到 b0，ac0.,函数解析式的求法,图 Z3-2,解：四边形 DOBC 是矩形，且点 D(0,4)，B(6,0)， 点 C 坐标为(6,4). 点 A 为线段 OC 的中点， 点A坐标为(3,2).k1326.,名师点评本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次 函数解析式，关键是正确确定点的坐标.,(1)求 k 的值； (2)点 B 的横坐标为 4 时，求ABC 的面积； (3)双曲线上是否存在点B，使ABC AOD？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，,请说明理由.,图 Z3-3,代数几何综合题,(2)作 CMAB 于 M，如图 Z3-4， 图 Z3-4,点 B 的横坐标为 4，,(3)不存在.理由如下： ABCAOD， 而AOD 为等腰直角三角形， ABC 为等腰直角三角形，ACB90.,不构成三角形，故不存在. 名师点评此题是代数知识(解二元一次方程组与一次函数 的关系)及几何知识(三角形相似、勾股定理)相结合的代数几何 题.解决此类题的关键是能求出点的坐标并理解点的横纵坐标 的几何意义，再结合几何知识解决问题.,函数探索开放题,例 5：如图 Z3-5，直线 AB 的解析式为 y2x4，交 x 轴 于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D， 交 y 轴负半轴于点 C(0，4).,(1)求抛物线的解析式；,(2)将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y,轴的交点记为 F，,求当BEF 与BAO 相似时，E 点坐标；,记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G，则SEFG与SACD,是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出 F 点的坐标.,图 Z3-5,解：(1)直线 AB 的解析式为 y2x4， 令 x0，得 y4；令 y0，得 x2. A(2,0)，B(0,4).,抛物线的顶点为点 A(2,0)，,设抛物线的解析式为 ya(x2)2，,点 C(0，4)在抛物线上，代入上式得44a， 解得 a1.,抛物线的解析式为 y(x2)2.,(2)平移过程中，设点 E 的坐标为(m,2m4)， 则平移后抛物线的解析式为y(xm)22m4， F(0，m22m4). 点 E 为顶点，BEF90. 若BEF 与BAO 相似，只能是点 E 作为直角顶点. BAOBFE，,如图Z3-6，过点E 作EHy 轴于点H，则点H 坐标为,H(0,2m4).,图 Z3-6,B(0,4)，H(0,2m4)，F(0，m22m4)， BH|2m|，FH|m2|.,假设存在.,联立抛物线：y(x2)2 与直线 AB：y2x4，可求得,D(4，4).,SEFG与SACD存在8倍的关系， SEFG64或SEFG1. 联立平移抛物线：y(xm)22m4与直线AB：y2x4，可求得G(m2,2m). 点E与点G横坐标相差2，即|xG|xE|2.,如图Z3-7，当顶点E 在y 轴左侧时.,图 Z3-7,|m22m|64或|m22m|1. m22m可取值为64，64,1，1. 当取值为64时，一元二次方程m22m64无解，故m22m64. m22m可取值为64,1，1. F(0，m22m4)， F坐标可取为(0，60)，(0,3)，(0,5). 同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为(0,5). 综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为(0，60)或(0,3)或(0,5).,名师点评本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型 问题，难度较大.第(2)问中，解题关键是确定点 E 为直角顶点， 且 BE2EF；第(2)问中，注意将代数式表示图形面积的方法、 注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用.,
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