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2019-2020年高考数学 不等式的证明 有关高考不等式证明证明不等式的主要方法是：一、基本方法：比较法，综合法，分析法二、其他方法：反证法，放所法，判别式，换元法，函数法，导数法，参数法，构造法，数学归纳法.一 比较法（比差法，比商法） u1.设，求证：证明：左-右= 2.已知，求证：证明：法一：时 时 时 法二：3.，求证：证明：4.已知，求证： 证明： 二 综合法5.设，求证：证明：法一： 法二： + 法三： 6.已知，求证：证明： 同理： + 7.设,求证： 证明： +8.设，求证：证明：法一： 即 同理： +- 法二： 法三： 9.设，求证：证明：左 10.设实数满足,求证：证明： “=”成立 “=”成立 此时“=”不同时成立三、分析法11.已知，求证：证明： 12.设,求证：证明： 成立13.已知，且，求证： 1）2）证明：1） 成立 即 2） 原不等式等价于证明 成立 只需证 14.已知 ，求证：证明： 四、反证法15.已知，求证：，中至少有一个小于等于.证明：假设 则有 又与矛盾16.设都是小于1的正数，求证：这四个数不可能都大于1.证明：同15题17.设，求证：证明：假设 与矛盾 18.设，求证：证明：假设 则 而与矛盾. 五、放缩法19.，求证：证明： +20.设，求证：证明：21.求证： 证明： 得 22.设，求证： 证明： 六 换元法23.已知，求证：证明：，设 24.已知，求证：证明： 令 25.已知，求证： 证明：26.求证：证明：设 27.已知，且，求证：证明：设 28.设，且，求证：证明：设 29.已知，求证：证明：令 + 原不等式法一：法二：30.已知，且，求证：证明： 设 解得 31.，求证：证明：令 左 七、函数法32.设，求证：证明：令 33.求证 证明：令 34.，求证：证明：令 a) 当时，在上是增函数 b) 当时，在上是减函数 c) 当时， 35.设，且，求证：证明： 36.设，对任意的正整数，求证： 证明： 37.已知，求证：证明： 八、参数法38.已知，求证：证明： + 39.设，且，求证：证明：即 + “=” 40 设，求证：证明： 即 + 代入得 41 设，求证：.证明： + 令 得 42 设 且，求证：证明： + 只要令 即43 若均为锐角，且满足，求证：证明：令 ，则 左 左 令 得九 导数法44 已知为正整数（1）设，证明：（2）设，对任意，证明：证明：（1） （2） 当时， 当时，在上为增函数 当时 即当时，45 设是函数的两个极值点，且， （1）证明：（2）证明：（3）若函数，证明：当，且时，证明：（1） 的两根为 即 （2） 时 为增函数 时 为减函数 （3） 46 已知函数（1） 求函数的最大值.（2） 设，证明.证明：（1）函数的定义域为 令得 当 时， 当时， （2） 由知 得 又 47 设函数（1）证明 （2）设为的一个极值，证明：（3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 证明：证明：（1） （2） 知 又 （3） 设是的任意正实数根.即则存在一个非负整数，使 即在第或第象限. x 的符号K为奇数 0 +K为偶数 + 0 满足的正根都为的极值点由题设条件为方程的全部正实根且满足 又 在第象限即综上 48 已知函数在开区间内是增函数（1） 求实数a的取值范围.（2） 若数列满足证明：.解：（1） 在上为增函数 在上恒成立 （2）当时， 设时， 当时， 记 当时 在上为增函数 又 综上 即 十 构造法49 已知 ，求证 证明：设 左= 其中为以1为边长的正方形OBCA内任一点 图像没有画50 已知，求证证明： 构造一个三棱锥A-BCD，使 图像没有画 在中，BC+CDBD51 求证 证明： 是方程的两个实数根 又 ，故该方程有两个大于c的不等实根设 解得52 设，且， 求证.证明：构造辅助命题：若则 令 左边53 求证：证明： 在上为增函数 54 已知 为实数，求证 证明： 55 已知，求证：证明：56 求证：证明: 设 十一 数学归纳法57 已知正项数列满足 求证：证明：当时， 设时，不等式成立有 ；那么当时， 即 时，命题正确 由得58 设且，求证：证明：当时，左右 当时， 当时 命题成立 设时命题成立 有 当时，不失一般性，设 即 即时，命题成立.59 数列由下列条件决定：（1） 证明：对 总有（2） 证明：对 总有证明：（1）先证 当时，有 设时，有 当时，成立 由得 对 总有 （2） 对 总有60 数列满足 （1）用数学归纳法证明 （2）已知不等式对成立.证明：证明：（1） 当时，不等式成立 设时，不等式成立 有 不等式成立 由得 时 （2） 即 61 设函数 （1）求的最小值 （2） 设正数满足证明：.证明：（1） 令 得 当时，此时为减函数 当时，此时为增函数 （2）法一：用数学归纳法证明 当n=1时，由（1）知命题成立 设n=k时命题成立，有 当n=k+1时，时，满足令则有由归纳假设知 同理： +得： 即 n=k+1时命题成立法二：先证不等式： 构造函数 （常数） 由（1）知：当 即时， 对都有 下面用数学归纳法证明命题成立 当n=1时，命题成立 设n=k时，命题成立.即若正数 满足有 当n=k+1时 令 由归纳假设得： 即 n=k+1时命题成立.附录 中的不等式1 设的三边为，求证：证明： 2 的三边为，求证：证明： 3 的三边为，求证：证明： 4 在锐角中，求证证明： 5 在中，已知的面积为，外接圆半径为，三边长为求证证明： 又 即 同理： “=” 若 矛盾 等式不成立 6 已知的三边长为的三边为，面积为 求证： 证明： +） 成立