2019-2020年高中数学 第二章 §5 第二课时 直线与平面的夹角应用创新演练 北师大版选修2-1 .doc

2019-2020年高中数学 第二章 5 第二课时 直线与平面的夹角应用创新演练 北师大版选修2-11已知直线l的一个方向向量为a(1,1,0)，平面的一个法向量为(1,2，2)，则直线l与平面夹角的余弦值为()A.BC D.解析：cosa，则直线l与平面的夹角的正弦值sin |cosa，|，cos .答案：A2已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA13，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为4的正方形，AA13，A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)而面BB1D1D的法向量为(4,4,0)，BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos，|.答案：C3.如图所示，点P是ABC所在平面外的一点，若PA、PB、PC与平面的夹角均相等，则点P在平面上的投影P是ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心解析：由于PA，PB，PC与平面的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影PA，PB，PC也都相等，故点P是ABC的外心答案：B4如果一个正方体的十二条棱所在的直线与一个平面的夹角都相等，记作，那么sin 的值为()A. B.C. D1解析：由于两条平行直线和同一平面的夹角相等，则在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BC1满足和十二条棱所在的直线夹角相等，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得(1,1,0)，(0,1,1)平面BA1C1的一个法向量n(1，1,1)又(0,0,1)则sin|cos，n|.答案：B5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.答案：6.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则(，2)，(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：7如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.8.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D在棱PB上(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC夹角的余弦值解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设PAa，由已知可得A(0,0,0)，B，C，P(0,0，a)(1)证明：(0,0，a)，(a,0,0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，D，又由(1)知，BC平面PAC，(a,0,0)是平面PAC的一个法向量cos，设AD与平面PAC的夹角为，则sin ，cos .AD与平面PAC夹角的余弦值为.