分布函数及概率密度.ppt

,概率论与数理统计 第六讲,主讲教师：张冬梅 博士 副教授,浙江工业大学理学院,2.3 随机变量及其分布,随机变量的分布函数； 概率密度； 几种常见连续型随机变量分布,2.3.1 随机变量的分布函数,定义1: 设 X() 是一个随机变量，称函数 F(x) = PXx, - x 为随机变量 X 的分布函数。,性质：,(1).ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)； (2).F(x)是一个右连续函数； (3).xR，总有0F(x)1(有界性)，且,证明：仅证 (1)。,因 aXb = Xb -Xa， PaXb = PXb - PXa = F(b) - F(a) . 又，因 PaXb0， 故 F(a)F(b) .,注意：一个重要公式: PaXb=F(b)-F(a). 即随机变量落在区间(a,b上的概率可以通过分布函数来计算。,设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,X 的分布函数为,例,故离散型随机变量的分布函数 F(x) ，在 X=xk (k=1, 2, ) 处有跳跃值 pk=PX=xk，如下图所示：,连续型随机变量所有可能取值充满若干个区间。 可用“概率分布函数” 和“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。,2.3.2 连续型随机变量的概率密度,概率密度函数,定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成,则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。,这两条性质是判定函数 f(x) 是否为概率密度函数的充 要条件。,概率密度函数的性质,f(x)与 x 轴所围 面积等于1。,(3). 对 f(x)的进一步理解：,X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰好是X 落在区间 x , x +x上的概率与区间长度x 之比的极限。 如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中的线密度。,注意：概率密度函数 f (x)在点 a 处取值，不是事件 X =a 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。,若不计高阶无穷小，有：,表示随机变量 X 取值于(x , x + x上的概率近似等于 f (x ) x 。,f (x ) x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作用类似。,(4). 约定：连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.,即：,因为：,由此得，, 对连续型 随机变量 X, 有, 由P(X=a)=0， 可推出,而 X=a 并非不可能事件,可见：,由P(A)=0, 不能推出 A=；,并非必然事件。,由 P(B)=1, 不能推出 B=。,分布函数与概率密度函数之间的关系,2.3.3 常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布（高斯分布）。,1. 正态分布,红色曲线近似于正态分布的概率密度曲线。,I. 正态分布的定义,定义：若随机变量 X 的概率密度函数为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。,(Normal),其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布。,II. 正态分布 的图形特点,特点“两头低，中间高，左右对称”。,关于X=对称的钟形曲线,并在 x=处达到最大值,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置, 决定了图形峰的陡峭程度。,这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。,当 x 时，f(x) 0。,求导的方法可以证明：,为f (x)的两个拐点的横坐标。,x = ,III. 正态分布 的分布函数,IV. 标准正态分布,称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数和分布函数常用 来表示。(附录),依据？,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布。,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1：,附录（P289）附有标准正态分布函数数值表，可以解决一般正态分布的概率计算问题。,V. 正态分布表,表中给出的是 x 0时，(x)的取值;,若 XN(0, 1),服从N(0,1),解: 设车门高度为 h ，按设计要求,P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，,求满足上式的最小的 h。,例1：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高 (单位: cm) XN(170, 7.692),问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),求满足 P(X h) 0.99 的最小 h。,故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。,若随机变量 X 的概率密度为：,则称 X 服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：,X Ua, b,2. 均匀分布 (Uniform),(注: 也记作 X U(a, b) )。,若X Ua, b，则对于满足 acdb 的 c 和 d，总有,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。,定义：若随机变量 X 具有概率密度,3. 指数分布,则称 X 服从参数为的指数分布，记成 X E()。,例2：设某电子管的使用寿命X(单位：小时)服从参数=0.0002的指数分布，求电子管使用寿命超过3000小时的概率。,解：,2.3.4 连续型随机变量的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：在 f (x)的连续点，有,回忆：若X 是连续型随机变量，f (x)是X 的密度函数，F(x)是分布函数，则对任意xR，总有,求连续型随机变量的分布函数,解：,求 F(x) .,对 x -1，有 F(x) = 0；,对 x 1， 有 F (x) = 1.,即,思考：均匀分布的分布函数是什么？,随机变量的分布函数； 三种常用的连续型随机变量： 正态分布，均匀分布和指数分布； 离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。,小结,