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2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课后提升训练含解析新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知双曲线-=1上有一点P到左焦点的距离为12,那么点P到右焦点的距离为()A.2B.22C.7或17D.2或22【解析】选D.由题意知:|PF1|=12,则|PF1|-|PF2|=2a=10,所以|PF2|=1210,所以|PF2|=22或2.经检验,均符合题意.2.(xx福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为=2a,所以-=6,所以=9或-3(舍去).【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么ABF2的周长是()A.16B.18C.21D.26【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.3.(xx嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线C:-=1的焦点为F1,F2,则|PF1|-|PF2|=6是点P在双曲线C上的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.点P在双曲线C上的充要条件为|PF1|-|PF2|=6,故|PF1|-|PF2|=6为点P在双曲线上的充分不必要条件.4.设,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是()A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选A.因为,所以sin0,cos0,所以-=1为焦点在y轴上的双曲线.5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),由双曲线定义知2a=|PF1|-|PF2|=|-|=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是()A.1B.1C.-1D.不存在【解析】选A.验证法:当m=1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=1时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=1.6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()A.-=1(x2)B.-=1(x2)C.-=1D.-=1【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,外切时,有|PN|=|PM|+4,故|PM|-|PN|=4,因此2a=4,2c=8,所以b2=12,点P的轨迹是双曲线-=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.7.方程+=1所表示的曲线为C,有下列命题:若曲线C为椭圆,则2t4或t2;曲线C不可能是圆;若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则3tb0)与双曲线-=1(m0,n0)有公共焦点F1,F2,P是它们的一个公共点.(1)用b和n表示cosF1PF2.(2)设=f(b,n),求f(b,n).【解析】(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,在F1PF2中,有|F1F2|2=+-2r1r2cos.因为P是椭圆和双曲线的公共点,则r1+r2=2a,且|r1-r2|=2m,所以4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cos),且4c2=(r1-r2)2+2r1r2(1-cos),所以r1r2=,所以cos=.(2)由(1),r1r2=b2+n2,而sin=,所以=f(b,n)=r1r2sin=bn.【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用:(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.12.在ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.【解析】设A点的坐标为(x,y),在ABC中,由正弦定理,得=2R,代入sinB-sinC=sinA,得-=,又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.所以A点的轨迹方程为-=1(x2).【能力挑战题】(xx南京高二检测)已知OFQ的面积为2,且=m.(1)设m4,求与的夹角的正切值的取值范围.(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|=c,m=c2,当|取得最小值时,求此双曲线的方程.【解析】(1)因为又因为m4,所以1tan0,b0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),所以SOFQ=|y1|=2,所以y1=.又=m,即(c,0)(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,所以|=,当且仅当c=4时,|最小,这时Q的坐标为(,)或(,-).因为所以故所求的双曲线方程为-=1.
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