2019-2020年高中数学竞赛辅导资料《函数的基本性质》.doc

2019-2020年高中数学竞赛辅导资料函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I函数的定义 设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：AB就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中xA，yB，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.II函数的性质 （1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的xD，都有f(x)=f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(x)=f(x),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D上满足：对任意x1, x2D，并且x1x2时，总有f(x1)f(x2),则称f(x)在区间D上的增函数（减函数），区间D称为f(x)的一个单调增（减）区间.III函数的周期性对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.例题讲解1已知f(x)82xx2，如果g(x)f(2x2)，那么g(x)( )A.在区间(2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2设f(x)是R上的奇函数，且f(x3)f(x)，当0x时，f(x)x，则f(xx)( )A.1B.0C.1D.xx3定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.C.152D.4实数x，y满足x22xsin(xy)1，则xxx6sin5y_.5已知x是方程x4bx2c0的根，b，c为整数，则bc_.6已知f(x)ax2bxc(a0)，f(x)0有实数根，且f(x)1在(0，1)内有两个实数根，求证：a4.7已知f(x)x2axb(1x1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M.8解方程:(x8)xxxxx2x80解方程：9设f(x)x4ax3bx2cxd，f1，f2，f3，求ff(0)的值.10设f(x)x44x3x25x2，当xR时，求证：|f(x)|课后练习1. 已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，则f(1)( )A.3B.3C.5D.52. 已知(3xy)xxxxx4xy0，求4xy的值.3. 解方程：ln(x)ln(2x)3x04. 若函数ylog3(x2axa)的值域为R，则实数a的取值范围是_.5. 函数y的最小值是_.6. 已知f(x)ax2bxc，f(x)x的两根为x1，x2，a0，x1x2，若0tx1，试比较f(t)与x1的大小.7. f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，当0x1，0y1时.求证：存在实数x，y，使得8. 设a，b，cR，|x|1，f(x)ax2bxc，如果|f(x)|1，求证：|2axb|4.9已知函数f(x)x3xc定义在0，1上，x1，x20，1且x1x2.求证：|f(x1)f(x2)|2|x1x2|；求证：|f(x1)f(x2)|1.课后练习答案1.解： fabsin5115 设f(1)absin5(1)1k相加：ff(1)25k f(1)k253选B2.解：构造函数f(x)xxxx，则f(3xy)f(x)0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3xyx4xy03.解：构造函数f(x)ln(x)x则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)f(2x)f(2x)由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为x04.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)x2axa的函数值应该能够取遍所有正数所以函数yg(x)的图象应该与x轴相交即0 a24a0a4或a0解法二：将原函数变形为x2axa3y0a24a43y0对一切yR恒成立则必须a24a0成立 a4或a05.提示：利用两点间距离公式处理y表示动点P(x，0)到两定点A(2，1)和B(2，2)的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|56.解法一：设F(x)f(x)xax2(b1)xc， a(xx1)(xx2) f(x)a(xx1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1 (tx1)a(tx2)1 a(tx1)(tx2)又tx2t(x2x1)x1tx10 f(t)x10 f(t)x1解法二：同解法一得f(x)a(xx1)(xx2)x令g(x)a(xx2) a0，g(x)是增函数，且tx1 g(t)g(x1)a(x1x2)1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2)g(t)1 f(t)tx1t f(t)x17.|xyf(x)g(y)|证明：(正面下手不容易，可用反证法)若对任意的实数x，y，都有|xyf(x)g(y)|记|S(x，y)|xyf(x)g(y)|则|S(0，0)|，|S(0，1)|，|S(1，0)|，|S(1，1)|而S(0，0)f(0)g(0) S(0，1)f(0)g(1) S(1，0)f(1)g(0) S(1，1)1f(1)g(1) |S(0，0)|S(0，1)|S(1，0)|S(1，1)| |S(0，0)S(0，1)S(1，0)S(1，1)| 1矛盾！故原命题得证！8.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题)fabcf(1)abcf(0)c aff(1)2f(0) bff(1) cf(0)|2axb|ff(1)2f(0)xff(1)| |(x)f(x)f(1)2xf(0)| |x|f|x|f(1)|2|x|f(0)| |x|x|2|x|接下来按x分别在区间1，(，0)，0，)，1讨论即可9. 证明：|f(x1)f(x2)|x13x1x23x2|x1x2|x12x1x2x221|需证明|x12x1x2x221|2 x12x1x2x22(x10 1x12x1x2x22111112 式成立于是原不等式成立不妨设x2x1由 |f(x1)f(x2)|2|x1x2|若 x2x1(0，则立即有|f(x1)f(x2)|1成立.若1x2x1，则1(x2x1) 01(x2x1) (右边变为正数)下面我们证明|f(x1)f(x2)|2(1x2x1)注意到：f(0)ff(1)c|f(x1)f(x2)|f(x1)ff(0)f(x2)| |f(x1)f|f(0)f(x2)| 2(1x2)2(x20) (由) 2(1x2x1) 1综合，原命题得证.10. 已知f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求证：|f(x)|若f(x)max，求a的值.解：分析：首先设法去掉字母a，于是将a集中若a0，则f(x)x，当x1，1时，|f(x)|1成立若a0，f(x)a(x21)x |f(x)|a(x21)x| |a|x21|x| |x21|x| ( |a|1) 1|x2|x| (|x|)2 a0时，f(x)x1 a0 f(x)maxmaxf，f(1)，f()又f(1)1 f(x)maxf()a()2()a a2或a但此时要求顶点在区间1，1内，应舍去答案为2例题答案：1提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为6f(xx)f(63351)f(1)f1选A3提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于100150所有101个根的和为101.选B4解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(xsin(xy)2cos2(xy)0 xsin(xy) 且 cos(xy)0 xsin(xy)1 siny1 xsin(xy)1原式75解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x x22x1999即 x2802x再平方得x4160x2640076x2即 x4236x264000 b236，c6400bc61646证法一：由已知条件可得 b24ac0 fabc1 f(0)c1 01 b24ac b1ac c1 b0( a0)于是b2所以ac1b2 ()21 1于是12 a4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)a(xx1)(xx2) fa(1x1)(1x2)1 f(0)ax1x21由基本不等式x1(1x1)x2(1x2)(x1(1x1)x2(1x2)4()2 a2x1(1x1)x2(1x2)1 a216 a47解：M|f(x)|maxmax|f|，|f(1)|，|f()|若|1 (对称轴不在定义域内部)则Mmax|f|，|f(1)|而f1ab f(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a|4则|f|和|f(1)|中至少有一个不小于2 M2|1Mmax|f|，|f(1)|，|f()| max|1ab|，|1ab|，|b| max|1ab|，|1ab|，|b|，|b| (|1ab|1ab|b|b|) (1ab)(1ab)(b)(b) 综上所述，原命题正确.8解：原方程化为(x8)xx(x8)xxxx0 即(x8)xx(x8)(x)xx(x)构造函数f(x)xxxx原方程等价于f(x8)f(x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x8xx4为原方程的解两边取以2为底的对数得于是f(2x)f(x21)易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2xx21解得：x19解：由已知，方程f(x)x已知有三个解，设第四个解为m，记 F(x)f(x)x(x1)(x2)(x3)(xm) f(x)(x1)(x2)(x3)(xm)xf6(4m)4f(0)6m ff(0)710证明：配方得：f(x)x2(x2)2(x1)2 x2(x2)2(x1)21 (x22x)2(x1)21 (x1)212(x1)21 (x1)42(x1)21(x1)21 (x1)4(x1)2