2019-2020年高中数学 双曲线知识精讲 文 苏教版选修1-1.doc

2019-2020 年高中数学 双曲线知识精讲 文 苏教版选修 1-1 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 双曲线 二. 重点、难点： 重点：双曲线的定义、方程、几何性质掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程 难点：理解参数 a、b、c、e 的关系及渐近线方程 三. 主要知识点 1、双曲线的定义： 平面内到两定点 F1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F 1F2|）的点的轨迹叫做 双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距 说明：双曲线的定义用代数式表示为|MF 1|MF 2|2a，其中 2a|F 1F2|，这里要注意 两点： （1）距离之差的绝对值. （2）2a|F 1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同 当|MF 1|MF 2|2a 时，双曲线仅表示焦点 F2所对应的一支； 当|MF 1|MF 2|2a 时，双曲线仅表示焦点 F1所对应的一支； 当 2a|F 1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F 2为端点向外的两条射线； 当 2a|F 1F2|时，动点轨迹不存在. 2、标准方程的推导 （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线 斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰 当的. 以两定点 F1、F 2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系（如 图） 设|F 1F2|2c（c0） ，M（x，y）为双曲线上任意一点，则有 F1（c，0） ， F2（c，0） （2）点的集合 由定义得出椭圆双曲线集合为：PM|MF 1MF 2|2a. （3）代数方程 2()()xcyxcya （4）化简方程（其中 c2a 2+b2） 3、两种双曲线性质的比较 焦点在 x 轴上的双曲线 焦点在 y 轴上的双曲线 几何 条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离） 标准 方程 1（a0，b0） 1（a0，b0） 图形 o x y 范围 |x|a |y|a 对称性 x 轴，y 轴，原点 顶点 坐标 （a，0） （0，a） 实轴 虚轴 x 轴，实轴长 2a y 轴，虚轴长 2b y 轴，实轴长 2a x 轴，虚轴长 2b 焦点 坐标 （c，0）c （0，c）c 离心率 e， e 1 渐近线 yx yx 4、方法小结 （1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的 形式（含有参数） ，再由题设条件确定参数值，应特别注意： 当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； 已知渐近线的方程 bxay0，求双曲线方程，可设双曲线方程为 b2x2a 2y2（0） ，根据其他条件确定 的值.若求得 0，则焦点在 x 轴上，若 求得 0，则焦点在 y 轴上 （2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要 特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错 （3）双曲线中有一个重要的 RtOAB（如下图） ，它的三边长分别是 a、b、c易见 c2a 2+b2，若记AOB，则 e x y O FF a b cq B A21 （4）参数 a、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有 a0，b0；双曲线焦 点位置决定标准方程的类型；a、b、c 的关系是 c2a 2+b2；在方程 Ax2+By2C 中，只要 AB0 且 C0，就是双曲线的方程 （5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线但已知渐近线方程，只是限制 了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程但若已知渐近线方程是0，则可把双 曲线方程表示为（0） ，再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程 【典型例题】 例 1. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线1 有共同的渐近线，且过点（3，2） ； （2）与双曲线1 有公共焦点，且过点（3，2）. （3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过 P（3， ）Q（，5） 剖析：设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求 a、b，为此需要关于 a、b 的两个 方程，由题意易得关于 a、b 的两个方程. 解法一：（1）设双曲线的方程为1， 由题意得 22 43() - =1 ab 解得 a2，b 24 所以双曲线的方程为1 （2）设双曲线方程为1. 由题意易求 c2 又双曲线过点（3，2） ， 1. 又a 2+b2（2） 2， a 212，b 28 故所求双曲线的方程为1 解法二：（1）设所求双曲线方程为（0） ， 将点（3，2）代入得 ， 所以双曲线方程为 （2）设双曲线方程为1， 将点（3，2）代入得 k4，所以双曲线方程为1 评述：求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e） 之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程 axby0，可设双曲线 方程为 a2x2b 2y2（0） 与1 同焦点的可设为1 （3）设双曲线方程为（mn0） 将 PQ 两点坐标代入求得 m16，n9. 故所求方程为 说明：若设1 或1 两种情况求解，比较繁琐 例 2. ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B（1，0） ，C（1，0） ，求满足 sinCsinBsinA 时，顶点 A 的轨迹方程，并画出图形 y O x 解：根据正弦定理得 cba1 即 ABAC1，所以点 A 的轨迹为双曲线 又 c1，a，bc 2a 2 故双曲线方程为 34xy（x） 例 3. （xx 年全国，19）设点 P 到点 M（1，0） 、N（1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、 y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围 剖析：由|PM|PN|2m，得|PM|PN|2|m|知点 P 的轨迹是双曲线，由点 P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2，知点 P 的轨迹是直线，由交轨法求得点 P 的坐标，进而可求得 m 的取值范围. 解：设点 P 的坐标为（x，y） ，依题意得2，即 y2x（x0） 因此，点 P（x，y） 、M（1，0） 、N（1，0）三点不共线，得 |PM|PN|0， 00 解得 0|m|，即 m 的取值范围为（，0）（0， ） 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析 问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义 例 4. （xx 年春季上海）已知椭圆具有的性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个 点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM 与 kPN之积是与点 P 位置无关的定值试对双曲线 C：1 写出具有类似特性的性质， 并加以证明 解：类似的性质为若 MN 是双曲线1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任 意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 位 置无关的定值 设点 M 的坐标为（m，n） ，则点 N 的坐标为（m，n） ，其中1 又设点 P 的坐标为（x，y） ， 由 kPM，k PN，得 kPMkPN， 将 y2x 2b 2，n 2m 2b 2，代入得 kPMkPN 评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它 是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求 【模拟试题】 （完成时间 60 分钟，满分 100 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1. 到两定点、的距离之差的绝对值等于 6 的点的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线 2. 方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 或 3. 双曲线的焦距是 （ ） A. 4 B. C. 8 D. 与有关 4.（xx 年天津，4）设 P 是双曲线1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|3，则|PF 2|等于 A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. （xx 年春季北京，5） “ab|PA|， 1PO),568,(P故即 ，11 答：巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心处. 12