2019-2020年高考数学二轮复习（11）解三角形教案.doc

2019-2020年高考数学二轮复习（11）解三角形教案【专题要点】正、余弦定理公式及其变形公式，三角形面积公式，三角形形状的判断（化边为角或化角为边），正、余弦定理的应用举例（如：测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等）【考纲要求】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识纵横】【教法指引】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，因此，在实际教学中应注意： 1根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题【典例精析】例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1）判断ABC的形状；（2）求ABC的面积解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16小结：此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围 例4（xx湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案：2 解：设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5（xx浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解：（1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 例6（xx全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b。 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练例7（xx浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （2）若，求的值解（1） 又，而，所以，所以的面积为：（2）由（）知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力例8.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=.(1)求sin2+cos2A的值;(2)若a=,求bc的最大值.分析：(1) 条件是明确的，但一时用不上，怎么办？，让目标式向条件式转化，也就是将sin2+cos2A转化成cosA的代数式然后求值；(2)由条件及()的结论，立即想到可用余弦定理破题.解：（1）ABC中，sin=cos.sin2+cos2A=cos2+cos2A=+2cos2A1=2cos2A+cosA=2.(2)由余弦定理：=cosA=.,当且仅当b=c,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.小结：本题亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理简单：cosA=由正弦定理：,=cos(B+C)cos(BC)=cosA+cos(BC)(+1)=.当且仅当B=C,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.例9. 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为1830,经过120秒后又看到山顶的俯角为81,求山顶的海拔高度(精确到1m).分析：依据条件，飞行员的两次观测点和山顶可构成一个三角形，明确了该三角形中的已知量与未知量后，就可以解斜三角形.解：设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶为M，山顶到直线AB的距离为MD,.例9图解在ABM中，由条件知:A=1830,B=99,M=6230.又AB=180=6km.根据正弦定理,可得BM=进而求得:MD=MD2120m.山顶的海拔高度为10250-2120=8130m.小结：依据题目背景，画出平面图形或空间图形，从中筛选直角三角形或斜三角形，是解此类应用题的基本要领.将实际问题与三角形中的边、角对号，从而明确那些是已知量，那些是未知量.例10.在中，是方程的两个根，且, 求（1）角的度数；（2）的长度；（3）的面积解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120（2）由题设： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=