2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学案苏教版选修2-1.doc

2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学案苏教版选修2-1学习目标1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算知识点一空间向量基本定理(1)定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.(2)基底与基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示(4)推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.知识点二空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上的单位向量，对于空间任意一个向量a，若有axiyjzk，则有序实数组(x，y，z)叫向量a在空间直角坐标系中的坐标特别地，若A(x，y，z)，则向量的坐标为(x，y，z)知识点三坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3) (R)ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3 (R)思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？(2)已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，且b1b2b30，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？答案(1)空间向量的坐标运算多3个竖坐标(2)ab.题型一空间向量的基底例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面则存在实，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，不共面，可以作为空间的一个基底反思与感悟空间向量有无数个基底判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断跟踪训练1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是_(填序号)或答案解析ab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底题型二用基底表示向量例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连结BO，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用跟踪训练2如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).解如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连结AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.题型三空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，建立适当坐标系，求向量的坐标解以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M(0，0)，N(，)(，0，)反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示跟踪训练3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，建立适当坐标系，求向量、的坐标解如图所示，因为PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设e1，e2，e3.以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为()e2e3(e3e1e2)e1e3，所以，(0,1,0)1已知A(2,3，1v)关于x轴的对称点是A(，7，6)，则，v的值分别为_答案2,10,7解析A与A关于x轴对称，2与向量m(0,1，2)共线的向量是_(填序号)(2,0，4) (3,6，12)(1,1，2) (0，1)答案解析(0，1)m，与m共线的向量是(0，1)3已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p2ab，qab构成空间的另一个基底的是_(填序号)2a；b；c；ac.答案解析p2ab，qab，p与q共面，a、b共面而c与a、b不共面，c与p、q可以构成另一个基底，同理ac与p、q也可构成一组基底4.如图在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标._，_.答案(2,0,1)(1,1,2)解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，(1,1,2)5.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，b，c，则向量用a，b，c表示为_答案abc解析2，2()，ba2(c)，abc.1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示2向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算