资源描述
第 4 讲,几何证明选讲,1了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理 2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 3会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理 4了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆) 5几何证明选讲考纲要求(5)(8)略,1平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例,推论 1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的,延长线)，所得的对应线段成比例,推论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直 线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,2射影定理的结论 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影 与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射,影的乘积,BDDC,在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于点 D， 则 AB2BDBC；AC2CDCB；AD2_. 3相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理： 预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似,判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似 判定定理 4：如果两个直角三角形的斜边和直角边对应 成比例，那么它们相似 (2)相似三角形的性质定理： 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比,的_,平方,4圆内接四边形的性质与判定 (1)圆内接四边形的对角互补,(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 (3)如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.,5直线与圆,一半,(1)圆周角定理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的_圆心角的度数等于它所对弧的度数 (2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等 (4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,10,图 10-4-1,图 10-4-2,2如图 10-4-2，DB，DC 是O 的两条切线，点 A 是圆上,一点已知D46，则BAC_.,67,3(2014 年广东肇庆二模)如图 10-4-3，ABC 的外角平分,线 AD 交外接圆于点 D，BD4，则 CD_.,4,图 10-4-4,9 8,a,考点 1,相似三角形,例 1：(1)(2014 年广东)如图 10-4-5，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，且 EB2AE，AC 与 DE 交于点 F，则,CDF 的周长 AEF 的周长,_.,图 10-4-5,答案：3,(2)如图 10-4-6，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD 2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯 形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_ 图 10-4-6,答案：,7 5,【规律方法】解本题第(2)小题的关键在于延长 AD，BC， 交点为 P，从而将我们不太熟悉的梯形转化为三角形来解决， 反复运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方.证明三角 形相似的主要方法：两角相等；两边对应成比例，且夹角 相等；三边对应成比例.,【互动探究】 1(2013 年陕西)如图 10-4-7，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知AC，PD,2DA2，则 PE_.,图 10-4-7,考点2,与圆有关的角,例2：如图 10-4-8，已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上， CA 切圆 O 于 A 点，DC 是ACB 的平分线并交 AE 于点 F、交 AB 于 D 点，求ADF 的大小,图 10-4-8,思维点拨：根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及,三角形内角和定理等通过角的关系求解,解：设EAC，根据弦切角定理，ABE. 根据三角形外角定理，AEC90. 根据三角形内角和定理，ACE902. 由于CD是ACB的内角平分线，所以FCE45. 再根据三角形内角和定理，CFE180(90) (45)45. 根据对顶角定理，AFD45. 由于DAF90，所以ADF45.,【规律方法】(1)等弦或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等，可进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弧相等，可进行弧(或弦)的等量代换 (2)本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系,【互动探究】 2如图 10-4-9，EB，EC 是O 的两条切线，B，C 是切 点，A，D 是O上两点，如果E46，DCF32，则 A的度数是_.,图 10-4-9,答案：99,图 D43,3(2012 年广东广州二模)如图10-4-10，O 的直径 AB 6，点 P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作O 的切线，切点为,C，连接 AC.若 PC3,，则CPA_.,30,图 10-4-10 解析：PC2PBPA 27PB(PB6)PB26PB270， 得PB3.连接OC，在RtOPC 中，OC3，OP6，则CPA 30.,考点3,与圆有关的比例线段,例3：(2014 年新课标)如图 10-4-11，P 是O 外一点， PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC 2PA ，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明： (1)BEEC； (2)ADDE2PB2. 图 10-4-11,证明：(1)如图10-4-12，连接AB，AC.由题设知PA PD， 故PAD PDA. 因为PDADACDCA， PAD BADPAB， DCAPAB，,所以DACBAD.,图10-4-12,因此BEEC.,(2)由切割线定理，得PA2PBPC. 因为PC2PA，所以PA2BP.所以PD2PB， 所以BDPB.所以BDDCPB2PB. 由相交弦定理，得ADDEBDDC. 所以ADDE2PB2.,【规律方法】相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提 供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的 结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助 线补齐相应部分.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到 相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的 切线和割线就要想到切割线定理.,【互动探究】 4(2012 年广东)如图 10-4-113，直线PB 与圆O 相切于点 B，D 是弦 AC 上的点，PBADBA.若 ADm，ACn，则 AB_ . 图 10-4-13,易错、易混、易漏,审题不清造成漏解,例题：过不在O 上的一点 A 作直线交O 于 B，C，且 ABAC64，OA10，则O 的半径等于_,【失误与防范】点A 不在O 上，则点A 有可能在圆外， 也有可能在圆内，对于没有给出图形的问题要认真审题，并想 清楚各种可能，本题很容易思维定势地认为点A 在圆外而出错.,
展开阅读全文