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第 2 讲,等差数列,1理解等差数列的概念,2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有,关知识解决相应的问题,4了解等差数列与一次函数的关系,1等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等,差数列的公差，通常用字母_表示,d,2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 ana1(n1)d.,6等差数列的常用性质,(1)数列an是等差数列，则数列anp，pan(p 是常数),都是等差数列,(2)若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq； 特别地，若 mn2p(m，n，pN*)，则 aman2ap.,(4)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sk，S2kSk，S3k,S2k，S4kS3k 是等差数列,(5)等差数列的单调性：若公差 d0，则数列单调递增；若 公差 d0，d0，则 Sn 存在最大值；若,a10，则 Sn 存在最_值,小,1已知在等差数列an中,a7a916，a41，则 a12(,A15,B30,C31,2设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知 a23，a611，,A13,B35,C49,3在等差数列an中，若 S11220，则 a6_.,则 S7(,),C,),D64,A,D63,20,考点 1,等差数列的基本运算,例 1：(2013 年福建)已知等差数列an的公差 d1，前 n 项和为 Sn. (1)若 1，a1，a3 成等比数列，求 a1； (2)若 S5a1a9，求 a1 的取值范围,【规律方法】在解决等差数列问题时，已知 a1，an，d，n， Sn 中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得 a1 和 d 是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法.本题主要 考查等差、等比数列最基本的公式，解最基本的一元二次方程 及一元二次不等式.,【互动探究】 1(贵州遵义航天高级中学2015 届高三上学期第五次模拟),在等差数列an中，a13a3a1510，则 a5 的值为(,),A2 C.4,B3 D5,解析：在等差数列an中，因为a13a3a1510，所以5a1 20d5(a14d)10.所以a52.故选 A.,A,考点 2,求等差数列的前 n 项和,例 2：(2014 年福建)在等比数列an中，a23，a581. (1)求 an； (2)设 bnlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn.,【互动探究】 2若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则该,数列的前 n 项和 Sn_.,3在等差数列an中，a17，公差为d，前 n 项和为 Sn， 当且仅当 n8 时，Sn 取最大值，求 d 的取值范围,考点 3,等差数列性质的应用,例 3：(1)(2014 年北京)若等差数列an满足 a7a8a90， a7a100.a80. a7a10a8a90，a9a80. 数列an的前 8 项和最大，即n8. 答案：8,(2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则,a7a8a9(,),A63,B45,C43,D27,a7a8a9S9S62(S6S3)S345.,方法二：由等差数列的性质知，S3，S6S3，S9S6成等 差数列，2(S6S3)S3(S9S6),答案：B,【互动探究】 4(2014 年重庆)在等差数列an中，a12，a3a510，,则 a7(,),B,A5,B8,C10,D14,解析：方法一：a12，a3a52a16d46d10，d 1，则 a7a16d8. 方法二：a12，a3a510a1a7，a78.,30，则 a2a3_.,15,5(2013 年上海)在等差数列an中，若 a1a2a3a4,思想与方法 利用函数的思想求等差数列的最值 例题：在等差数列an中，若 a125，S17S9，则 Sn 的最 大值为_ 思维点拨：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解,方法四：由d2，得Sn 的图象如图5-2-1(图象上一些孤 立点) 图 5-2-1,当 n13 时，Sn 取得最大值169.,答案：169,【规律方法】求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用等差数 列的性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数 列的前n 项和 SnAn2Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据 二次函数的性质或图象求最值,
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