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第4讲,古典概型与几何概型,1.古典概型.,(1)理解古典概型及其概率计算公式.,(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事,件发生的概率.,2.随机数与几何概型.,(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义.,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古 典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.,(2)每个基本事件出现的可能性_.,相等,3.古典概型的概率公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出 模型即为古典概型. 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率,P(A)_.,4.几何概型,长度,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型. 5.几何概型中，事件 A 的概率计算公式,6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点,(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个. (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.,注意：几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区 域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和 形状无关；,求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和,整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,1.(2013 年江西)集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各,取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是(,),C,2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率,为(,),C,3.(2013 年福建)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，,则事件“3a10”发生的概率为_.,4.如图9-4-1的矩形，长为 5，宽为 2.在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗.则我们可以估计,出阴影部分的面积为_.,图 9-4-1,考点 1,古典概型,例1：(1)(2014年江西，人教版必修3P127例3)掷两颗均匀的,骰子，则点数之和为 5 的概率等于(,),解析：掷两颗均匀的骰子，点数的所有可能情况有 66 36(种)，其中两颗骰子点数之和为 5 的事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，,答案：B,答案：C,(2)(2014年湖北)随机投掷两枚均匀的骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为p1，点数之和大于5的概率为p2，点数之和为偶数的概率为p3，则( ) A.p1p2p3 B.p2p1p3 C.p1p3p2 D.p3p1p2,【规律方法】本题是考查古典概型，利用公式 P(A),.,古典概型必须明确判断两点：对于每个随机试验来说，所有 可能出现的实验结果数 n 必须是有限个；出现的所有不同的 试验结果数 m 其可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关 键是列举做到不重不漏.,【互动探究】,1.(2014 年四川)一个盒子里装有 3 张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这 3 张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.,(1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率.,解：(1)由题意，(a，b，c)的所有可能有 33327(种). 设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A，则事件,A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种，,(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，,考点 2,几何概型,例 2：(1)在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则,解析：取 AB 的三等分点P，如图D49，如果在线段BP 上,图 D49,答案：A,(2)向面积为 S 的ABC 内任投一点 ，则PPBC 的面积小,图 D50,答案：,3 4,【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：,把每一次试验当做一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是则考虑用几何概型； 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形，并加以度量；,将几何概型转化为长度、面积、体积之比， 应用几何概型的概率公式求概率.,【互动探究】 2.(2014 年辽宁)若将一个质点随机投入如图 9-4-2 所示的长 方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径,的半圆内的概率是(,),图 9-4-2,答案：B,考点 3,两种概型与其他知识的综合运用,例 3：甲、乙两人约定上午 9 时至12 时在某地时见面，并 约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时 之内若对方不来，则离去.如果他们两人在 9 时到 12 时之间的 任何时刻到达约定地的概率都是相等的，求他们见到面的概率. 思维点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面 直角坐标系内分别用x 轴、y 轴表示甲、乙到达约会地时的时间， 用 0 时到 3 时表示9 时至12 时的时间段，则试验发生包含的条 件是(x ，y)|0x3,0y3.(2) 两人能会面的时间必须满足|x y|1.这就将问题化归为几何概型问题.,解：设9 时后过了x 小时甲到达，9 时后过了y 小时乙到达， 取点 Q(x，y)， 则 0x3,0y3. 两人见到面的充要条件是|xy|1. 如图 9-4-3，作出两部分对应图形的,区域，得所求概率是,图 9-4-3,【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意总的 基本事件和所求事件分别表示的区域.,【互动探究】,3.(2014年重庆，由人教版必修3P137例2改编)某校早上8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间 到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张 比小王至少早 5 分钟到校的概率为_.(用数字作答),解析：用 x 表示小王到校的时间，30x50，用y 表示小 张到校的时间，30y50，则所有可能的结果对应如图 D51 所示的直角坐标系中的正方形ABCD 区域，小张比小王至少早 5 分钟到校，即 xy5，所对应的区域为,图 D51,易错、易混、易漏 几何概型中容易混淆几何量的比 例题：(1)在直角三角形 ABC 中，A30，过直角顶,点C作射线 CM 交线段 AB 于 M，则使|AM|AC|的概率为(,),正解：如图9-4-4，取 ADAC，A30，此时ACD 75，则BCD15.欲使|AM|AC|，CM必须在BCD内，其,图 9-4-4,答案：B,(2)在直角三角形 ABC 中，A30，在斜边 AB 上任取一,点 M，则使|AM|AC|的概率为(,),答案：C,【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M”与“在斜边 AB 上任取一点 M”，前者 CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者 M 为斜边AB 上任一点，结果应该为斜边 AB 上的长度比.,
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