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第3讲,函数的奇偶性与周期性,1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2会运用函数图象理解和研究函数的性质,1函数的奇偶性 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x)或 f(x)f(x)0，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关,于原点对称,f(x)f(x),y,(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或 f(x)f(x)0，则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_ 轴对称,注意：通常利用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶 性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或 偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2函数的周期性 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的 每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函,数，非零常数 T 叫做这个函数的_,周期,A奇函数 C既是奇函数又是偶函数,B偶函数 D非奇非偶函数,2(2015年广东江门一模)下列函数中，是奇函数的是(,Bf(x)log2x Df(x)sinxtanx,Af(x)2x Cf(x)sinx1,D,),D,Ay 轴对称 C坐标原点对称,B直线 yx 对称 D直线 yx 对称,C,B,A2,B1,C1,D2,考点 1,判断函数的奇偶性,例 1：(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是(,),答案：A,(2)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 yx3 ，y2x，y,x21，y2sinx 中，奇函数的个数是(,),A4 个,B3 个,C2 个,D1 个,答案：C,(3)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是(,),答案：D,(4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下,列结论恒成立的是(,),Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数 解析：g(x)是 R 上的奇函数，|g(x)|是 R 上的偶函数， 从而 f(x)|g(x)|是偶函数故选 A. 答案：A,复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”； 抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断,图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数 奇偶性的判断常用图象法；,【互动探究】 1若函数 f(x)3x3x 与 g(x)3x3x 的定义域均为 R，,则(,),B,Af(x)与 g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数 解析：f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数而 g(x) 3x3xg(x)，g(x)为奇函数,考点2,利用奇偶性求函数值,例2：若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_. 解析：方法一：由函数f(x)为偶函数，得f(x)f(x)对于任 意的 x 都成立， 即(xa)(x4)(xa)(x4)， x2+(a4)x4ax2(4a)x4a.a44a.a4. 方法二：由题意知，f(1)f(1)，(1a)(14)(1 a)(14)a4. 答案：4,【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法：先利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数 的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.,【互动探究】,2设函数 f(x),(x1)(xa) x,为奇函数，则 a_.,1,解析：f(x)为奇函数，f(1)f(1)，a1.,3.(2015年广东广州一模)已知幂函数f(x) (m Z)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数，则f(2)的值为_.,16,考点3,函数奇偶性与周期性的综合应用,答案：A,【互动探究】 4(2014 年新课标)已知偶函数 yf(x)的图象关于直线 x,2 对称，f(3)3，则 f(1)_.,3,解析：yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(1)f(3) 3.又yf(x)为偶函数，f(1)f(1)3.,易错、易混、易漏 判断函数奇偶性时没有考虑定义域 例题：给出四个函数：,2x ylg 2x,；,ylg(2x)lg(2x)； ylg(x2)(x2)； ylg(x2)lg(x2) 其中奇函数是_，偶函数是_,正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有 f(x) f(x)，所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)， 且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)， 关于原点不对称，因此该函数为非奇非偶函数,答案：,【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致 错对定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，f(x)f(x) 的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性 的必要条件,
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