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专题五,立体几何,题型 1,三视图与表面积、体积,例 1：(2014 年陕西)已知四面体 ABCD(如图 5-1)及其三视 图(如图 5-2)，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB， BD，DC，CA 于点 E，F，G，H. (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形,三视图是高考的新增考点，经常以一道客观题的形式出现，有时也和其他知识综合作为解答题出现解题的关键还是要将三视图转化为简单几何体，或者其直观图,图 5-1,(1)证明：由该四面体的三视图知， BDDC，BDAD，ADDC， BDDC2，AD1. 由题设，BC平面EFGH， 平面EFGH平面BDCFG， 平面EFGH平面ABCEH， BCFG，BCEH.FGEH. 同理EFAD，HGAD，EFHG. 四边形EFGH是平行四边形,又ADDC，ADBD，AD平面BDC. ADBC.EFFG. 四边形EFGH是矩形 (2)解：方法一：如图52，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，,图52,【互动探究】 1(2013 年广东广州二模)如图 5-3，已知四棱锥 P-ABCD 的正视图是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形，如图 5-4 所示的分别是四棱锥 P-ABCD 的侧视图和俯视图 (1)求证：ADPC； (2)求四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积,图 5-3,图 5-4,(1)证明：如图D45，依题意，可知：点P 在平面ABCD 上 的正射影是线段 CD 的中点 E，连接 PE，则 PE平面 ABCD. AD平面 ABCD， ADPE. ADCD，CDPEE，CD 平面 PCD，PE平面 PCD，,AD平面 PCD. PC平面 PCD，ADPC.,图 D45,(2)解：依题意，在等腰三角形 PCD 中， PCPD3，DEEC2.,过点 E 作 EFAB，垂足为 F，连接 PF，,PE平面 ABCD，AB平面 ABCD，ABPE. EF平面 PEF，PE平面 PEF，EFPEE， AB平面 PEF.,PF平面 PEF，,ABPF.,依题意，得 EFAD2.,题型 2,平行与垂直关系,就全国试卷而言，对立体几何的命题基本上是“一题两法”的格局在备考中，还是应该注重传统的推理证明方法，不要盲目地追求空间向量(容易建系时才用空间向量)，千万不要重计算而轻论证！,例 2：(2014 年四川)三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯视图如 图 5-5.设 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，P 为线段 BC 上的 点，且 MNNP.,(1)证明：P 是线段 BC 的中点； (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值,图 5-5,解：(1)如图5-6，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO.,图 5-6,由侧视图及俯视图知，ABD，BCD 为正三角形， 所以 AOBD，OCBD.,因为 AO，OC平面 AOC，且 AOOCO， 所以 BD平面 AOC.,又因为 AC平面 AOC，所以 BDAC. 取 BO 的中点 H，连接 NH，PH.,又 M，N，H 分别为线段 AD，AB，BO 的中点， 所以 MNBD，NHAO.,因为 AOBD，所以 NHBD. 因为 MNNP，所以 NPBD.,因为 NH，NP平面 NHP，且 NHNPN， 所以 BD平面 NHP.,又因为 HP平面 NHP，所以 BDHP.,又 OCBD，HP平面 BCD，OC平面 BCD， 所以 HPOC.,因为 H 为 BO 的中点，所以 P 为 BC 的中点,(2)方法一：如图 5-7，作 NQAC 于点 Q，连接 MQ.,图 5-7,图 5-8,【名师点评】立体几何中的直线与平面的位置关系，以及 空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来 处理；对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直间的 转化关系来证明；对于异面直线所成的角、直线与平面所成的 角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为 相交直线所成的角来处理本题主要考查立体几何中传统的平 行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大， 主要考查考生对解题技巧的把握和抽象分析的能力,【互动探究】,2(2014 年北京)如图 5-9，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C 分别为 AM，MD 的中点在五棱锥 P-ABCDE 中，F 为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD，PC 分别交于点 G，H.,(1)求证：ABFG；,(2)若 PA 底面 ABCDE，且PAAE， 求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小， 并求线段 PH 的长,图 5-9,(1)证明：在正方形 AMDE 中，,因为 B 是 AM 的中点，所以 ABDE. 又因为 AB平面 PDE， 所以 AB平面 PDE.,因为 AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG， 所以 ABFG.,(2)解：因为 PA 底面 ABCDE， 所以 PA AB，PA AE.,图 D46,题型 3,折叠问题,立体几何最重要的思想就是空间问题平面，当然也有许多 将平面转换成立体几何的习题，如折叠问题，解此类问题最重 要的要把握折叠前后边与角中的变与不变,例 3：(2014 年广东)如图 5-10，四边形 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD，DPC30，AFPC 于点 F，FECD， 交 PD 于点 E.,(1)证明：CF平面 ADF；,(2)求二面角 D-AF-E 的余弦值,图 5-10,(1)证明：PD平面 ABCD，AD平面ABCD，PDAD. 又 CDAD，PDCDD， AD平面 PCD.ADPC. 又 AFPC，ADAFA，PC平面 ADF， 即 CF平面 ADF.,图 5-11,【名师点评】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形 (折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量 关系，哪些变，哪些不变如角的大小不变，线段长度不变， 线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明,【互动探究】,图 5-12,图 5-13,图D47,所以AO2OD2AD2. 所以AOOD. 同理可证AOOE. 又ODOEO， 所以AO平面BCDE.,(2)解：方法一：如图D47，传统法：过点O 作OHCD， 交 CD 的延长线于点 H，连接 AH. 因为 AO平面 BCDE，所以 AOCD. 又 OHCD，AOOHO， CD平面 AHO.AHCD. 所以AHO 为二面角 A-CD-B 的平面角,方法二：以O 点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz 如图 D48. 图 D48,
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