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第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差,.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 .理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用 .理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 .能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题,整合主干知识,1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量,随机变量,2离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率为P(Xxi)pi，则表,称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了简单起见，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列 (2)分布列的性质 pi0，i1,2，n；,(3)常见离散型随机变量的分布列 两点分布 若随机变量X的分布列为 则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率 超几何分布,3.均值与方差 (1)均值 称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或_它反映了离散型随机变量取值的_ (2)方差,数学期望,平均水平,平均偏离程度,(3)均值与方差的性质 E(aXb)_. D(aXb)_.(a，b为常数) 质疑探究：随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系是怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个随机变量，随着试验次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差,aE(X)b,a2D(X),解析：设失败率为p，则成功率为2p.X的分布列为,答案：C,答案：A,3已知离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)等于( ) 答案：A,4有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)_.,5在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_ 解析：E(X)10.700.30.7. 答案：0.7,聚集热点题型,典例赏析1 (2015广州市调研)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示： 为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查,离散型随机变量的分布列,(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？ (2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率； (3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取2名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列,拓展提高 求解离散型随机变量X的分布列的步骤： 理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列 提醒 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识,变式训练 1(2015济南调研)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和 (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望E(X),典例赏析2 一个盒子里装有7张卡片， 其中有红色卡片4张， 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张， 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率. (2) 在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望,离散型随机变量的期望与方差,所以随机变量X的分布列是,拓展提高 求离散型随机变量的均值与方差的方法 (1)理解的意义，写出可能取的全部值； (2)求取每个值的概率； (3)写出的分布列； (4)由均值的定义求E()； (5)由方差的定义求D(),变式训练 2(2015温州市调研)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束 (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X),X的分布列为,典例赏析3 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：,超几何分布,(1)请将上面的列联表补充完整； (2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，说明你的理由； (3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差,下面的临界值表供参考：,思路索引(1)先根据已知概率求出患心肺疾病的人数，从而得出表格中的各个数据；(2)利用22列联表中的数据代入公式求K2，然后利用临界值表进行判断； (3)先确定的取值，利用超几何分布的概率公式求其每个取值所对应的概率，列出分布列，最后代入期望与方差的计算公式求解,解析 (1)列联表补充如下,拓展提高 1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题 (2)随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的应用 超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型,变式训练 3某校高一年级共有学生320人为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位：分钟)，按照以下区间分为7组：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70，得到频率分布直方图如图已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的有4人,(1)求n的值； (2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) (3)问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望,解：(1)由题图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06， 则n(0.020.06)4，解得n50. (2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi， 由题图知p10.02，p20.06，p30.3，p40.4， p50.12，p60.08，p70.02， 则由xi50pi可得x11，x23，x315，x420，x56，x64，x71.,备课札记 _,提升学科素养,(理)离散型随机变量的分布列、期望与方差,(本题满分12分)(2013高考湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：,这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米 (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望,故所求Y的分布列为 (10分),答题模板 第一步：弄清题目意思，找到内部及边界各个点； 第二步：计算出从三角形地块内部及边界各取一株作物结果种数及相近的种数； 第三步：数出各点相近点的株数，分类； 第四步：求每类的概率； 第五步：列出分布列； 第六步：计算期望,(2015北京东城模拟)为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”,(1)写出这组数据的众数和中位数； (2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率； (3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望,X的分布列为,1两点注意 (1)求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率要注意分类不全面或计算错误 (2)注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误. 2三条性质 (1)E(axb)aE(x)b(a，b为常数) (2)E(X1X2)E(X1)E(X2) (3)D(axb)a2D(x)(a，b为常数),3三种方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解,
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