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第11节 导数在研究函数中的应用,.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次) .了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次),整合主干知识,1函数的单调性与导数 (1)函数yf(x)在某个区间内可导 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； 如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为_ (2)单调性的应用 若函数yf(x)在区间(a，b)上单调，则yf(x)在该区间上不变号,单调递增,单调递减,常函数,质疑探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0， f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,2函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念满足 函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都_； f(a)_； 在点xa附近的左侧_，右侧_； 则点xa叫做函数yf(x)的_，f(a)叫做函数yf(x)的_,小,0,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,(2)函数极大值的概念满足 函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都_； f(b) _0； 在点xb附近的左侧_，右侧_； 则点xb叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_；极小值点与极大值点统称为_，极小值与极大值统称为_,大,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,(3)求可导函数极值的步骤 求导数f(x)，写出导数的定义域； 求方程f(x)0的根； 列表，检验f(x)在方程f(x)0的根左右两侧的符号(判断yf(x)在根左右两侧的单调性)，如果左正右负(左增右减)，那么f(x)在这个根处取得_如果左负右正(左减右增)，那么f(x)在这个根处取得_如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点,极大值,极小值,质疑探究2：f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取极值的什么条件？ 提示：必要不充分条件，因为当f(x0)0且x0左右两端的导数符号变化时，才能说f(x)在xx0处取得极值反过来，如果可导函数f(x)在xx0处取极值，则一定有f(x0)0.,3函数的最值与导数 求函数yf(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤： (1)求yf(x)在(a，b)内的_； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中_的一个为最大值， _的一个为最小值,极值,最大,最小,4利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)并确定定义域； (2)求导数f(x)，解方程f(x)0； (3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答,答案：B,答案：C,3从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3,答案：C,答案：3,5给出下列命题： f(x)0是f(x)为增函数的充要条件； 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的； 函数的极大值不一定比极小值大； 对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件； 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 其中真命题的是_(写出所有真命题的序号),解析：错误f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件错误一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个正确一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小错误对可导函数f(x)，f(x0)0只是x0点为极值点的必要条件，如yx3在x0时f(0)0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点正确当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值 答案：,聚集热点题型,典例赏析1 设函数f(x)(xa)eax(aR) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(4,4)内单调递增，求a的取值范围,利用导数研究函数的单调性,名师讲坛由函数的单调性求参数的取值范围的题型及求解策略：,提醒：含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论,变式训练 1(2015长春模拟)已知函数f(x)x2aln x. (1)当a2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)f(x)在1，)上是单调函数，求实数a的取值范围,利用导数研究函数的极值,名师讲坛 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根；,(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点 提醒：若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值,(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a1,利用导数研究函数的最值,名师讲坛求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，首先可判断函数在a，b上的单调性，若函数在a，b上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值若函数在a，b上不单调，一般先求a，b上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值 提醒：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小,变式训练 3(2015郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex， (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值 解：(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. f(x)与f(x)的变化情况如下：,所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，) (2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k， 当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minf(k1)ek1； 当k2时，f(x)minf(1)(1k)e.,典例赏析4 (2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,利用导数研究生活中的优化问题,名师讲坛 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤,(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答,变式训练 4(2015吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f(x)(单位：元/kg)与时间x(单位：天，x(0,8且xN*)的数据如下表： (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系：f(x)axb，f(x)ax2bxc，f(x)abx，其中a0，并求出此函数；,解：(1)根据表中数据，表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，这与函数f(x)axb，f(x)abx，均具有单调性不符，所以，在a0的前提下，可选取二次函数f(x)ax2bxc进行描述,备课札记 _,提升学科素养,利用导数确定函数的单调区间问题,当x(0,2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点； (9分) 当k1时， 得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增 所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)(10分) 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当,答题模板 用导数法求函数单调区间一般可用以下几步答题： 第一步：求函数f(x)的定义域； 第二步：求函数f(x)的导数f(x)，令f(x)0，求出x； 第三步：由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围； 第四步：写出函数f(x)的单调区间； 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范,1一个区别 极值与最值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,2两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定 (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 3三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念,(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点 (3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件,
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