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第十六章 几何证明选讲,高考理数,1.平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 (i)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其他直线上截得的线段也 相等 . (ii)推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. (iii)推论2:经过梯形一腰的 中点 ,且与底边 平行 的直线平分另一腰. (2)平行线分线段成比例定理及其推论 (i)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . (ii)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 成比例 . 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 (i)判定定理,知识清单,a. 两角 对应相等的两个三角形相似. b.两边对应成比例且夹角 相等 的两个三角形相似. c.三边 对应成比例 的两个三角形相似. (ii)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与 原三角形 相似. (iii)直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条 直角边 对应成比例的两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于 相似比 ,面积比等于 相似比的平方 . (3)直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影 的 比例中项 ;两直角边分别是它们在 斜边上射影与斜边的 比例中项 . 3.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在 圆周上 且两边都与圆相交的角.,(2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . (3)圆周角定理的推论 (i)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等 . (ii)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90的圆周角所对的弦是 直径 . 4.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系,(2)切线的性质及判定定理 (i)切线的性质定理:圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径. (ii)切线的判定定理: 经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线 是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 相等 ,圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角. 5.弦切角 (1)弦切角:顶点在 圆 上,一边与圆 相切 、另一边与圆相交的角. (2)弦切角定理及推论 (i)定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 . (ii)推论:同弧或等弧所对的弦切角 相等 ,同弧或等弧所对的弦切角与圆周角 相等 . 6.与圆有关的比例线段,7.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理: (i)圆的内接四边形的对角 互补 . (ii)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理及推论 (i)定理:如果一个四边形的对角 互补 ,那么这个四边形的四个顶点共圆. (ii)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.,判定两个三角形相似的几种方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹 角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的定义. 例1 (2015贵州七校联盟一模,22,10分)如图,O1和O2的公切线AD和BC相交于点D,A、B、C 为切点,直线DO1交O1于E、G两点,直线DO2交O2于F、H两点. (1)求证:DEFDHG; (2)若O1和O2的半径之比为916,求 的值.,突破方法,方法1 相似三角形的判定及性质,解析 (1)证明:AD是两圆的公切线, AD2=DEDG,AD2=DFDH, DEDG=DFDH, = , 又EDF=HDG, DEFDHG. (4分) (2)连结O1A,O2A, AD是两圆的公切线, O1AAD,O2AAD, O1A,O2A共线, AD和BC是O1和O2的公切线, DG平分ADB,DH平分ADC, DGDH,AD2=O1AO2A, (8分) 设O1和O2的半径分别为9x和16x,则AD=12x,144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x), DE=6x,DF=4x, = . (10分) 1-1 (2016广西柳州三模,22,10分)如图,在ABC中,AB=AC,ABC的外接圆O的弦AE交BC于 点D. 求证:ABDAEB. 证明 因为AB=AC,所以ABD=C. 又因为C=E,所以ABD=E, 又BAE为公共角,可知ABDAEB.,1.圆幂定理切割线定理、相交弦定理、割线定理等,考查常常以证明乘积恒等式的形 式出现.因此,必须抓住以下几点:(1)圆中的比例线段及其应用范围;(2)线段成比例,相似三角形, 圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形;(3)圆幂定理的原理与证明. 例2 (2014课标,22,10分)选修41:几何证明选讲 如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点, AD的延长线交O于点E. 证明:(1)BE=EC; (2)ADDE=2PB2.,方法2 圆中有关定理(圆幂定理)的应用,证明 (1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故PAD=PDA. 因为PDA=DAC+DCA, PAD=BAD+PAB, DCA=PAB, 所以DAC=BAD,从而 = . 因此BE=EC. (2)由切割线定理得PA2=PBPC. 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得ADDE=BDDC, 所以ADDE=2PB2.,2-1 (2016贵州贵阳二模,22,10分)如图,ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB 的延长线于点P,BAC的平分线分别交BC和圆O于点D,E,PA=2PB=10.,(1)求证:AC=2AB; (2)求ADDE的值. 解析 (1)证明:PA是圆O的切线, PAB=ACB,又P是公共角, ABPCAP. = ,PA=2PB,AC=2AB.,(2)由切割线定理,得PA2=PBPC, PA=2PB=10,PC=20,BC=PC-PB=15. AD是BAC的平分线,由(1)知AC=2AB, = =2. CD=2DB,CD=10,DB=5. 又由相交弦定理,得ADDE=CDDB=50. 2.四点共圆问题往往难度较大,但出现的机率相对较小,主要考查学生结合圆中有关角和边 的定理进行推理和证明,结合圆内接四边形的性质或判定完成问题的求解和证明. 例3 (2013课标全国,22,10分)选修41:几何证明选讲 如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点, 且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆. (1)证明:CA是ABC外接圆的直径; (2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.,解析 (1)证明:因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A,由题设知 = ,故CDB AEF,所以DBC=EFA. 因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90. 所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径. (2)连结CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2= DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.,而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 . 3-1 (2016青海西宁4月月考,22,10分)已知ABC中,AB=AC,D为ABC外接圆劣弧 上的点 (不与点A、C重合),延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F. 求证:(1)CDF=EDF; (2)ABACDF=ADFCFB.,
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