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第十八章 不等式选讲,高考理数,1.不等式的性质和绝对值不等式 (1)解绝对值不等式的基本思想 解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号,常采用的方法是讨论符号或平方,例如: (i)若a0,则|x|g(x)f(x)g(x)或f(x)0),当且仅当a=b时取等号.,知识清单,(3)平均数定理: (a,b,c0),当且仅当a=b=c时取等号. (a1+a2+an) (ai0,i=1,2,n),当且仅当a1=a2=an时取等号. (4)绝对值三角不等式 定理1:|a|+|b|a+b|(a,bR),当且仅当ab0时等号成立; 定理2:如果a,b,cR,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立; |a|-|b|a+b|. 注意:含绝对值的三角不等式|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|中,对于等号成立的条件应注意:|a+b|=| a|+|b|中,ab0,而|a-b|=|a|+|b|中,ab0等. 3.柯西不等式 (1)一般形式:设a1,a2,an,b1,b2,bn为实数,则( + + )( + + )(a1b1+a2b2+anbn) 2.当且仅当bi=0,或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立. (2)二维形式的柯西不等式: 代数形式:设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.上式等号成立ad=bc.,向量形式:设,为平面上的两个向量,则|.当且仅当是零向量或存在实数k,使=k 时,等号成立. 三角形式:设x1,x2,y1,y2R,则 + ,其几何意义是三角形两 边之和大于第三边. 注意:不等式成立的条件要准确把握,如a2+b22ab(a,bR),a+b2 (a,b0),柯西不等式中ai,bi (i=1,2,n)均为实数等. 4.不等式的证明 (1)综合法:从命题的已知条件出发,利用 公理 、 定义 及 定理 ,逐步推导,从而最后导 出要证明的命题. (2)分析法:从需要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直至所需条件为已知条 件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立. (3)反证法:首先假设要证明的命题是 不正确的 ,然后利用公理、定义、定理、性质等,逐步 分析,得到和 命题的条件 (或已证明过的定理、性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以此说 明假设的结论 不成立 ,从而证明原来的结论正确.,(4)放缩法:将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )使它由繁到简,达到证明目的. 如果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值 缩小 ,把分母缩小,则分式 的值 放大 . (5)若a1,a2,b1,b2R,则(a1+a2)(b1+b2) (a1b1+a2b2)2 ,等号成立 a1b2=a2b1 . (6)设,为平面上的两个向量,则| |,当且仅当是 零向量 ,或存在实数k,使=k 时,等号成立. (7)设a1,a2,b1,b2为实数,则 + ,等号成立 存在非负实 数,使得a1=b1,a2=b2 . (8)设平面上三点坐标为A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2),则 + ,其几何意义: |AB|+|BC|AC| . (9)一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个 步骤: (i)证明当 n取初始值n0 时命题成立; (ii)假设当 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断 定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,形如|x-a|+|x-b|c(或0)型的不等式主要有三种解法: 1.零点分段讨论法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值 符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组),一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根; (2)将这些根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间; (3)在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上的 解集; (4)这些解集的并集就是原不等式的解集. 2.利用绝对值的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差, 因此对形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.,突破方法,方法1 绝对值不等式的解法,例1 (2013辽宁,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|,其中a1. (1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值. 解析 (1)当a=2时, f(x)+|x-4|= 当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1; 当2x4时, f(x)4-|x-4|无解; 当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5, 所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5. (4分) (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)=,由|h(x)|2,解得 x . 又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以 于是a=3. (10分) 1-1 (2015贵州一模,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|. (1)当a=3时,求不等式f(x)2的解集; (2)若f(x)5-x对任意xR恒成立,求实数a的取值范围. 解析 (1)a=3时, f(x)2即为|2x-3|+|x-1|2. 当x 时,不等式即为2x-3+x-12,解得x2. 当1x 时,不等式即为3-2x+x-12,2-x2,x0.舍去. 当x1时,不等式即为3-2x+1-x2,3x2,即x . 综上,当a=3时, f(x)2的解集为 . (5分),(2)f(x)5-x对任意xR恒成立,即为|2x-a|5-x-|x-1|对任意xR恒成立, 令g(x)=5-x-|x-1|= 数形结合可得 3,a6,故a的取值范围是6,+). (10分),基本不等式的应用主要集中在解决最值问题、不等式恒成立、存在性问题及参数的求解 问题. 解含参数的不等式存在性问题时,只要求出存在满足条件的x即可.不等式的解集为R是指不等 式的恒成立问题,而不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题(如f(x)m的解集是空 集,则f(x)m恒成立),此两类问题都可转化为最值问题,即f(x)f(x)max, f(x)a恒成立 a0,b0,且 + = . (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 解析 (1)由 = + ,得ab2,且当a=b= 时等号成立. 故a3+b32 4 ,且当a=b= 时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4 .,方法2 基本不等式的应用,(2)由(1)知,2a+3b2 4 . 由于4 6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6. 2-1 (2016云南富宁二模,24,10分) 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时, f(x)g(x),求a的取值范围. 解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y= 其图象如图所示.,从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0,所以原不等式的解集是x|0x2. (2)当x 时, f(x)=1+a. 不等式f(x)g(x)化为1+ax+3, 所以xa-2对x 恒成立. 故- a-2,即a .从而a的取值范围为 .,不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法;(6)数学归 纳法;(7)换元法;(8)导数与积分法;(9)构造法. 例3 (2015课标,24,10分)选修45:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + .,方法3 不等式的证明,(ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件. 3-1 (2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca ; (2) + + 1. 证明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,所以3(ab+bc+ca)1, 即ab+bc+ca . (2)因为 +b2a, +c2b, +a2c, 故 + + +(a+b+c)2(a+b+c), 即 + + a+b+c. 所以 + + 1.,很多重要不等式的证明和求最值都可以由柯西不等式导出,常利用常数的巧拆、结构的巧 变、巧设数组等方式利用柯西不等式. 例4 (2014福建,21(3),7分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23. 解析 (1)|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1x2时,等号成立, f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明:由(1)知p+q+r=3, 又因为p,q,r是正实数, (p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2 =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r23.,方法4 柯西不等式的应用,4-1 (2016四川成都质检)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 . 答案 解析 由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5, 所以 的最小值为 .,
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