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12.2 古典概型与几何概型,高考理数,1.古典概型及其概率公式 (1)古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. a.试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ; b.每个基本事件出现的可能性 相等 . (2)古典概型的概率公式 P(A)= . 2.几何概型及其概率公式 (1)几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的概率公式,知识清单,设几何概型的基本事件空间为可度量的区域,事件A所对应的区域用A表示(A),则P(A)= . 【知识拓展】 1.对古典概型的理解 (1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能 性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关 键. (2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型. 2.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件是等可能的,不同点 是基本事件数一个是有限的,一个是无限的.对于几何概型,基本事件可以抽象为点,这些点尽管 是无限的,但它们所占据的区域是有限的,根据等可能性,一个点落在区域的概率与该区域的几 何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关.,求古典概型概率的基本步骤: 注意:较为复杂的问题的处理方法: (1)转化为几个互斥事件的和; (2)采用间接法,利用P(A)=1-P( ). 例1 (2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不 小于该正方形边长的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 取两个点的所有情况有 =10种,这两个点的距离小于正方形边长的有4种,故这两个点,突破方法,方法1 古典概型,的距离不小于正方形边长的情况有6种,概率为 = ,故选C. 答案 C 1-1 (2016四川宜宾二模,19,12分)根据十八大的精神,全国在逐步推进教育教学制度改革,各高 校自主招生在高考录取中所占的比例正在逐渐加大.对此,某高校在今年的自主招生考试中制定 了如下的规则:笔试阶段,考生从6道备选试题中一次性抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题,至 少正确完成其中2道试题则可以进入面试.已知考生甲正确完成每道题的概率为 ,且每道题正 确完成与否互不影响;考生乙能正确完成6道试题中的4道题,另外2道题不能完成. (1)求考生甲至少正确完成2道题的概率; (2)求考生乙能通过笔试进入面试的概率; (3)记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为,求的分布列和数学期望. 解析 (1)记甲至少答对2道题的概率为P,则P= + = + = . (4分) (2)记考生乙能通过笔试为事件A,则基本事件总数n= =20, (5分) 事件A包含的基本事件数m= + =16. (7分),所以P(A)= = . (8分) (3)的所有可能取值为1,2,3. P(=1)= = ,P(=2)= = ,P(=3)= = . (10分) 则的分布列为,(11分) E()=1 +2 +3 =2. (12分),求几何概型概率的基本步骤: 例2 (2015贵州红花岗模拟)设实数a,b均为区间0,1内的随机数,则关于x的不等式bx2+ax+ 0 有实数解的概率为( ) A. B. C. D. 解析 当b=0,a=0时,不等式bx2+ax+ 0等价于 0,显然不成立;当b=0,a0时,不等式bx2+ax+ 0等价于ax+ 0,有实数解;,方法2 几何概型,当b0时,若不等式bx2+ax+ 0.作出平面区域如下: 综上,易知关于x的不等式bx2+ax+ 0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比,S阴= = = ,故 = = ,故选C. 答案 C 2-1 (2016广西南宁月考,15,5分)在区间-3,3上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|1成立的概率为 . 答案,解析 设f(x)=|x+1|-|x-2|,则f(x)=|x+1|-|x-2|= 由2x-11得x1,故1x2,即当1x 3时,f(x)1.由几何概型概率公式得所求概率为 = = .,
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