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11.2 二项式定理,高考理数,1.二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b1+ an-kbk+ bn(nN*) . 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系 数 (k=0,1,2,n)叫做 二项式系数 .二项展开式中的 an-kbk叫做二项展开式的 通项 ,用 Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1= an-kbk . 注意:(1)Tk+1指的是第k+1项, 是第k+1项的二项式系数. (2)(a+b)n与(b+a)n相同,但具体到它们展开式的某一项却是不同的,所以公式中的a与b位置不能 颠倒.,知识清单,【知识拓展】 1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项, an-kbk是第k+1项.即k+1是项数, an-kbk是项. (2)通项是Tk+1= an-kbk(k=0,1,2,n).其中含有Tk+1,a,b,n,k五个元素,只要知道其中四个即可求第五 个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tk+1= an-kbk中, 就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关;Tk+1项的系数指化简后除字母以外 的数,如a=2x,b=3y,Tk+1= 2n-k3kxn-kyk,其中 2n-k3k就是Tk+1项的系数.,利用二项式定理求展开式的通项、特定项、二项式或项的系数,一般是将通项公式化简后, 令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为0;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通 项公式即可. 例1 已知 的展开式的前三项中的系数成等差数列. (1)求展开式中所有的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解析 (1) 的展开式中的前三项系数依次为 , , , 由这三个数成等差数列得2 = + ,即n2-9n+8=0, n=8或n=1(舍去). 二项展开式的通项Tr+1= ( )8-r ( )r= ,方法1 求展开式中的特定项或特定项的系数,突破方法,要使Tr+1项为有理项,则 Z, r=0,4,8. 有理项为T1=x4,T5= x= x,T9= x-2. (2)设第k项的系数最大,则有 解得3k4, 故系数最大的项为第三项T3=7 和第四项T4=7 . 1-1 (2015陕西一模,13,5分) 的展开式中的常数项等于 . 答案 -160 解析 的展开式的通项为Tr+1= 26-r(-1)rx3-r, 令3-r=0,求得r=3,故展开式中的常数项等于-23 =-160.,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a、bR) 的式子,求其展开式的各项系数之和常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a、bR)的式 子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+ = ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+= . 例2 (2016江西横峰一模,17,12分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求: (1)a0+a1+a7的值; (2)a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值; (3)二项式系数和. 解析 (1)令x=1,则a0+a1+a7=-1. (2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a6-a7=2 187,令x=0,则a0=1, 于是a1+a2+a3+a7=-2, a1+a3+a5+a7=-1 094,方法2 二项式系数和与各项的系数和的问题,a0+a2+a4+a6=1 093. (3)二项式系数和为 + + =27=128. 2-1 (2016贵州兴义调研)在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解析 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10.(*) 各项系数和即为a0+a1+a10,奇数项系数和为a0+a2+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+a9,x的 奇次项系数和为a1+a3+a5+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数和为 + + =210. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.,(3)奇数项的二项式系数和为 + + =29, 偶数项的二项式系数和为 + + =29. (4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+a10=1. 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1), 得a0-a1+a2-a3+a10=510. +得2(a0+a2+a10)=1+510, 奇数项的系数和为 . -得2(a1+a3+a9)=1-510, 偶数项的系数和为 . (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9= . x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10= .,
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