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12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,高考理数,1.离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xn,取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(=xi)=pi,则称表,知识清单,为随机变量的概率分布列,具有性质: a.pi0,i=1,2,n; b.p1+p2+pi+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量X的分布列为,其中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的 两点分布 . 3.超几何分布列 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件X=k发生的概率为P(X=k)= (k=0,1,2,m) ,其中m=minM,n,且nN,MN,n、M、NN*,称分布列,为超几何分布列.,4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为,(i=1,2,n) (1)均值 称EX= x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (2)方差 称DX= (xi-EX)2pi 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其 算术平方根 为随机变量X的标准差,记作X. 注:D()=E()2-(E)2,由的分布列唯一确定. 5.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aEX+b (a,b为实数). (2)D(aX+b)= a2DX (a,b为实数). 6.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则EX=p,DX= p(1-p) .,(2)若XB(n,p),则EX=np,DX= np(1-p) . 【知识拓展】 1.随机变量的本质 (1)所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数概念本质上是相同的,只 不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量X的自变量是试 验结果. (2)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;其二,在 大量重复试验中能按一定统计规律取实数值,即存在统计规律性. 2.离散型随机变量的分布列的作用 对于随机变量X的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率,对于离散型随机 变量,它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率. 3.对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. (2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而EX是不变的,它描述X取,值的平均状态. (3)公式EX=x1p1+x2p2+xnpn,直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后 相加.由此可知,求随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列. 4.方差的意义 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散, DX越小,说明X的取值越集中,由方差定义知,方差是建立在期望这一概念之上的.在EX附近,统计 中常用 来描述X的分散程度.,求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行: 例1 (2014安徽合肥3月月考,21,13分)一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从这批产品 中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数X的分布列. (1)每次取出的产品不再放回; (2)每次取出的产品仍放回; (3)每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中. 解题导引 确定X的,突破方法,方法1 离散型随机变量的分布列,可能取值利用所学概率知识 如古典概型,两点 分布,超几何分布 求P(X=k)的值写出X的 分布列 解析 (1)由于总共有7件正品,3件次品,所以,X的可能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为 P(X=1)= , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= = . 所以X的分布列为,(2)由于每次取出的产品仍放回,每次取时完全相同,所以X的可能取值是1,2,k,相应的 取值概率为 P(X=1)= , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=k)= . 所以X的分布列为,(3)与情况(1)类似,X的可能取值是1,2,3,4,而其相应概率为 P(X=1)= , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= = . 所以X的分布列为,1-1 (2016陕西宝鸡3月月考,19,12分)某市为了解“陕西分类招生考试”的宣传情况,从A,B,C, D四所中学的学生中随机抽取50名学生参加问卷调查,已知A,B,C,D四所中学各抽取的学生人数 分别为15,20,10,5. (1)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (2)在参加问卷调查的50名学生中,从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示 来自A中学的学生人数,求的分布列及期望. 解析 (1)从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有 =1 225种,来自同一所中学的取法共 有 + + + =350种,从50名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学的概 率P= = . (2)因为50名学生中,来自A,C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得的所有可能取值为0,1,2. P(=0)= = ,P(=1)= = ,P(=2)= = ,的分布列为,的期望E()=0 +1 +2 = .,例2 (2015辽宁大东4月月考,19,12分)某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程 中发现,在回收上来的1 000份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚 上临睡前背.为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以5%的比例对这1 000名学生按 时间安排类型进行分层抽样,并完成一项试验,试验方法是,使两组学生记忆40个无意义音节(如 XIQ、GEH),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在8小时后进行记忆测验.不同的是,甲组,方法2 求离散型随机变量的期望与方差的方法,同学识记结束后一直不睡觉,8小时后测试;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8小时后叫醒测验.两 组同学识记停止8小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点).,(1)估计1 000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数; (2)从乙组准确回忆个数在12,24)范围内的学生中随机选3人,记能准确回忆20个以上(含20)的人 数为随机变量X,求X的分布列及数学期望; (3)从本次试验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好?计算 并说明理由. 解析 (1)1 0005%=50,甲组有4+10+8+4+2+1+1=30(人), 乙组有20人. 又4060%=24, 识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的在甲组中有1人,在乙组中有(0.062 5+ 0.037 5)420=8(人),(1+8)5%=180, 估计1 000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数为1 80. (2)乙组准确回忆个数在12,24)内的有(0.025+0.025+0.075)420=10(人),准确回忆个数在20,2 4)内的有0.075420=6(人). X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = . X的分布列为,数学期望EX=0 +1 +2 +3 = . (3)甲组学生准确回忆音节总数为24+610+108+144+182+221+261=288(个). 故甲组学生的平均保持率为 = 9.6=0.24. 乙组学生准确回忆音节总数为(60.012 5+100.012 5+140.025+180.025+220.075+260.062 5+300.037 5)420=432(个). 故乙组学生的平均保持率为 = 21.6=0.54, 0.540.24, 临睡前背单词记忆效果更好. 2-1 (2016山东潍坊2月月考,20,12分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资10万元,一年后利润 是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整 有关,在每次调整中,价格下降的概率都是p(0p1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的 调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X,对乙项目每投资10万元,X取0、1、2时,一年 后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10,万元一年后的利润. (1)求X1,X2的概率分布列和均值E(X1),E(X2); (2)当E(X1)E(X2)时,求p的取值范围. 解析 (1)X1的概率分布列为,E(X1)=1.2 +1.18 +1.17 =1.18. 由题设得XB(2,p),即X的概率分布列为,故X2的概率分布列为,所以E(X2)=1.3(1-p)2+1.252p(1-p)+0.2p2 =1.3(1-2p+p2)+2.5(p-p2)+0.2p2=-p2-0.1p+1.3. (2)由E(X1)1.18, 整理得(p+0.4)(p-0.3)0,解得-0.4p0.3. 因为0p1,所以当E(X1)E(X2)时, p的取值范围是0p0.3.,
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