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11.1 排列、组合,高考理数,1.计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同 的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N= m1+m2+mn 种不 同的方法. (2)分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同 的方法,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N= m1m2mn 种不同的 方法. (3)两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在 于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;,知识清单,分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 2.排列与组合 (1),(2),【知识拓展】 1.对两个原理的进一步理解 分类加法计数原理中,“完成一件事,有n类办法”,是说每种办法“互斥”,即每种方法都可以独 立地完成这件事,同时它们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类办法彼此之间是相 互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接 用分类加法计数原理,否则不可以. 分步乘法计数原理中,“完成一件事,需要分成n个步骤”,是说每个步骤都不足以完成这件事,这 些步骤彼此间也不能有重复和遗漏. 2.解排列、组合问题要遵循两个原则:一是按元素或位置的性质进行分类;二是按事情发生的过,程进行分步,常见的策略: (1)特殊元素优先安排策略;(2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排策略;(4)正难则反,等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理策略;(6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题用除法的策略.,对于排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的特殊元素开始考虑,有时也从特殊的位置 开始讨论.对于相邻问题,常用“捆绑法”;对于不相邻问题,常用“插空法”;对于“在与不在” 的问题,常常使用“直接法”或“排除法”. 例1 (2015四川绵阳一模,15,10分)有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形各有多少种不 同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间. 解析 (1)解法一:元素分析法.先排甲有6种,再排其余人有 种,故共有6 =241 920种排法. 解法二:位置分析法.中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余6人有 种排法,故共有 =3 36720=241 920种排法. 解法三:等机会法.9个人全排列有 种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意得,甲不在,突破方法,方法1 排列问题,中间及两端的排法总数是 =241 920. 解法四:间接法. -3 =6 =241 920(种). (2)先排甲、乙,再排其余7人. 共有 =10 080种排法. (3)插空法.先排4名男生有 种排法,再将5名女生插空,有 种排法,故共有 =2 880种排法. 1-1 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相 邻,这样的六位数的个数是 .(用数字作答) 答案 40 解析 先将3,5排列,有 种排法;再将4,6插空排列,有2 种排法;最后将1,2插入3,4,5,6形成的空 中,有 种排法.由分步乘法计数原理知,共有 2 =40种.,组合问题的常见类型及处理方法: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补 足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多” 这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂 时,考虑逆向思维,用间接法处理. 例2 (2015北京海淀2月月考,19,10分)现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派 5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 解析 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法.,方法2 组合问题,第二步:选2名女运动员,有 种选法. 共有 =120(种)选法. (2)解法一:至少有1名女运动员包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 + + + =246(种). 解法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解. 从10人中任选5人有 种选法,其中全是男运动员的选法有 种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为 - =246(种). (3)解法一:可分类求解: “只有男队长”的选法有 种; “只有女队长”的选法有 种; “男、女队长都入选”的选法有 种; 所以共有2 + =196(种)选法. 解法二:间接法:,从10人中任选5人有 种选法, 其中不选队长的方法有 种,所以“至少有1名队长”的选法为 - =196(种). (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法.其中 不含女运动员的选法有 种,所以不选女队长时的选法共有 - 种选法.所以既有队长又有女 运动员的选法共有 + - =191(种). 2-1 (2015山东即墨一中12月月考,9,5分)2015年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七 位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定:凡卡号的后四位 恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”,享受一定优惠政策.如后 四位数为“2663”“8685”为“金兔卡”,则这组号码中“金兔卡”的张数为 ( ) A.484 B.972 C.966 D.486 答案 C 解析 当后四位数有2个6时,“金兔卡”共有 99=486张; 当后四位数有2个8时,“金兔卡”共有 99=486张. 但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况,所以要减掉 =6,故“金兔,卡”共有4862-6=966张.,解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组; 均匀分组;部分均匀分组.无序分组要除以均匀组数的阶乘数,有序分组要在无序分组的基 础上乘分组数的阶乘数. 例3 (2015甘肃定西统考,18,12分)按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析 (1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有 种选法;再从余下的5本中选2本,有 种选法;最后余下3本全选,有 种选法.,方法3 分组与分配问题,故共有 =60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分配,共有 =360(种). (3)无序均匀分组问题. 先分三步,则应是 种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取 了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 种分法中还有(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 种情况,而这 种情况仅是AB, CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 =15(种). (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式 = =90(种). (5)无序部分均匀分组问题.共有 =15(种). (6)有序部分均匀分组问题.,在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式 =90(种). (7)直接分配问题. 甲选1本,有 种方法;乙从余下的5本中选1本,有 种方法;余下4本留给丙,有 种方法.共有分 配方式 =30(种). 3-1 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的 卡片放入同一信封,则不同的放法共有 ( ) A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 答案 B 解析 先放标号为1,2的卡片有 种,再将标号为3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置,有 种,故共有 =18种不同的放法.,解排列组合综合应用问题的思路: 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”就是找 出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对 某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的 几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列 组合问题,然后逐步解决. 例4 (1)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬 手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方法 共有 种(用数字作答). (2)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中 取出4张卡片排成一行,如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有 种(用数字作答). 解析 (1)甲传第一棒,乙传最后一棒,共有 种方法.,方法4 排列组合的综合应用,乙传第一棒,甲传最后一棒,共有 种方法. 丙传第一棒,共有 种方法. 由分类加法计数原理得,共有 + + =96种方法. (2)取出的4张卡片所标数字之和等于10,共有三种情况:1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有 种排法. 所取卡片是2233的共有 种排法. 所取卡片是1234,则其中卡片颜色可为无红色,1张红色,2张红色,3张红色,全是红色,共有排法 + + + + =16 种, 共有排法 + +16 =18 =184321=432种. 答案 (1)96 (2)432 4-1 (2014广东,8,5分)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件 “1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D,解析 设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2 =10个元 素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有 22=40个元素满足t=2;t=3说 明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有 222=80个元素满足t=3,从而,共有10+40+8 0=130个元素满足1t3.故选D.,
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