资源描述
6.1 数列的概念及其表示,高考理数,1.数列的通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子:an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这 个数列的 通项公式 . 2.递推公式 如果已知数列an的 第一项 (或前几项),且从第二项(或某一项)开始任何一项an与它的前一 项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列an的递推公式. 3.数列的前n项和及其与通项的关系 (1)Sn=a1+a2+an; (2)an= 注意:利用an与Sn的关系求an时,一定要验证“n=1”的情况.,知识清单,利用Sn求数列an的通项公式的注意事项: (1)利用Sn求数列an的通项公式时,一定要注意“n=1”的情况. (2)a1若不满足an=Sn-Sn-1(n2),数列的通项公式就要以分段的形式写出,即an= (3)求数列最大、最小项的方法: 转折项法:数列an中,假设an最大,则由不等式组 (nN*,n2)解出的n值就是取得最大 值的n值;假设an最小,则由不等式组 (nN*,n2)解出的n值就是取得最小值的n值.,【知识拓展】,利用an= 求通项时,要注意检验“n=1”时的情况. 例1 (2015四川自贡一诊,16)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,). (1)求数列an的通项公式; (2)当bn=lo (4an+1)时,求数列 的前n项和Tn. 解析 (1)由已知得 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n2), 即an+1= an(n2), n2,nN*时,数列an是以a2为首项, 为公比的等比数列.,突破方法,方法1 利用an与Sn的关系求通项,又a2= S1= a1= , an= (n2). an= (2)bn=lo (4an+1)=lo =n. = = - . Tn= + + + = + + + =1- = . 1-1 (2013广东,19,14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1, =an+1- n2-n- ,nN*. (1)求a2的值; (2)求数列an的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有 + + .,解析 (1)依题意,2S1=a2- -1- ,又S1=a1=1,所以a2=4. (2)2Sn=nan+1- n3-n2- n, 当n2时,2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1), 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n2-3n+1)-(2n-1)- , 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即 - =1, 又 - =1, 故数列 是首项为 =1,公差为1的等差数列, 所以 =1+(n-1)1=n,所以an=n2. (3)证明:当n=1时, =1 ; 当n=2时, + =1+ = ;,当n3时, = = - , 此时 + + =1+ + + + 1+ + + + =1+ + - = - . 综上,对一切正整数n,有 + + .,递推数列求通项常用的方法: (1)形如an=an-1+f(n)(n2,nN*)时,用累加法求解. (2)形如 =f(n)(an-10,n2,nN*)时,用累乘法求解. (3)形如an=an-1+m(n2,nN*)时,构造等差数列求解. (4)形如an=xan-1+y(n2,nN*)时,构造等比数列求解. (5)形如an= (n2,nN*,m,k,b0)时,两边取倒数后构造等差数列求解. 例2 (2015湖北武汉4月模拟)根据下列条件,确定数列an的通项公式. (1)an+1=an+3n+2,a1=2; (2)a1=1,an= an-1(n2); (3)a1=1,an+1=3an+2. 解析 (1)因为an+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n2),方法2 利用递推关系求数列的通项,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1= . 当n=1时,a1=2= (31+1),符合上式, 所以an= n2+ . (2)因为an= an-1(n2), 所以an-1= an-2,a2= a1. 由累乘法可得an=a1 = = (n2). 又a1=1符合上式,an= . (3)因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1), 所以 =3, 所以数列an+1为等比数列,公比q=3.,又a1+1=2,所以an+1=23n-1, 所以an=23n-1-1. 2-1 (2016宁夏银川质检,9,5分)已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为 ( ) A. B. C.10 D.21 答案 B 解析 由已知条件可知:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=33+2+4+2(n-1)=n2-n+33.又n=1时,a1 =33适合上式, an=n2-n+33.故 =n+ -1. 令f(x)=x+ -1(xN*),则f(x)在1,5上为减函数,在6,+)上为增函数.又f(5)= , f(6)= ,则f(5) f(6),故 的最小值为 ,故选B.,(1)函数法:利用数列的增减性或图象求最大(小)项. (2)转折项法:利用不等式组 (n2,nN*) 求最大(小)项. 例3 (2016山西太原一模,18,12分)已知数列an的通项公式an=(n+1) ,试问数列an中有没 有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 解题导引 导引一:作差an+1-an比较an+1, an的大小利用数列的增 减性求最大项 导引二:an大 于0an-1an(n2), anan+1建立关于n 的不等关系由nN*,方法3 利用通项公式求数列最大(小)项的常用方法,确定最大项 解析 解法一:an+1-an=(n+2) -(n+1) = ,当n0,即an+1an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n9时,an+1-an0,即an+1an. 该数列中有最大项,为第9和第10项,且a9=a10=10 . 解法二:根据题意,令 (n2,nN*), 即 解得9n10. 又nN*,n=9或n=10,该数列中有最大项,为第9和第10项,且a9=a10=10 . 3-1 (2015天津新华中学模拟)在数列an中,an=(n+1) ,则数列an中的最大项是第,项. 答案 6和7 解析 假设an最大,则有 (n2,nN*), 即 解得6n7,又nN*,所以最大项为第6和第7项.,
展开阅读全文