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2.7 函数与方程,高考理数,1.函数的零点 函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 连续 不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0 ,那么,函 数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,知识清单,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)零点的分布,3.用二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: a.确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度. b.求区间(a,b)的中点c. c.计算f(c): (i)若f(c)= 0 ,则c就是函数的零点; (ii)若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c); (iii)若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b). d.判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复b,c,d. 【知识拓展】 (1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表,达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图象与x轴交点的个数. (2)变号零点与不变号零点 (i)若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数f(x)的变号零点. (ii)若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数f(x)的不变号零点. (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,则f(a)f(b)0是f(x)在区间(a,b)内有零点的 充分不必要条件.,(1)直接求零点:令f(x)=0,若能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a) f(b)0,还必须结合函数的具体图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出相应两个函数的图象,看其交点的个数,有几个交点,就有几个所求 零点. 例1 (2013天津,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|= = 的根的个数函数y1=|log0.5x| 与y2= 的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点,故选B.,突破方法,方法1 函数零点个数的判断方法,答案 B 1-1 (2015天津河西二模,4,5分)函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B 解析 函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数即为函数y=x2-4x+5的图象与函数y=2ln x的图象的交点 个数,作函数y=x2-4x+5与函数y=2ln x的图象如下:,结合图象可得, 函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为2.故选B.,(1)定理法:利用零点存在性定理加以判断. (2)图象交点法:画出两函数y=f(x),y=g(x)的图象,其交点的横坐标是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点,以 此来判断函数零点所在区间. 例2 (2013重庆,6,5分)若a0, f(b)0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个 零点分别在(a,b)和(b,c)内,选A. 答案 A 2-1 (2015黑龙江大庆二模,10,5分)已知函数f(x)= -ax,若 a ,则f(x)的零点所在区间为 ( ),方法2 函数零点所在区间的判定方法,A. B. C. D. 答案 C 解析 因为函数f(x)= -ax在定义域上连续, 且f(0)=0-1 - =0. 故f(x)的零点所在区间为 .故选C.,利用函数零点求参数的取值范围时,常利用方程求解,但当方程的根不易甚至不能求出时, 可构造两个函数,利用函数的图象数形结合进行求解. 例3 (2015云南红河一模,12,5分)已知函数f(x)=|xex|,方程f 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个不同的实 数根,则t的取值范围是 ( ) A. B.(-,-2) C. D. 解析 f(x)=|xex|= 当x0时, f (x)=ex+xex0恒成立,所以f(x)在0,+)上为增函数; 当x0, f(x)为增函数, 当x(-1,0)时, f (x)=-ex(x+1)0, f(x)为减函数,方法3 利用函数零点、方程的根求参数的取值范围问题,所以函数f(x)=|xex|在(-,0)上有一个最大值为f(-1)=-(-1)e-1= , 令f(x)=m,因为方程f 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个不同的实数根, 所以方程m2+tm+1=0应有两个不等实数根,且一个根在 内,一个根在 内, 再令g(m)=m2+tm+1,因为g(0)=10, 则只需g 0,即 + t+10, 解得t- . 所以,使得方程f 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个不同实数根的t的取值范围是 .故选A. 答案 A 3-1 (2015陕西安康三模,12,5分)已知直线y=kx与函数 f(x)= 的图象恰好有3个不 同的公共点,则实数k的取值范围是 ( ),A.( -1,+) B.(0, -1) C.(- -1, -1) D.(-,- -1)( -1,+) 答案 A 解析 作直线y=kx与函数y=f(x)= 的图象如下:,由图象可知,k不可能是负数, 故排除C,D; 易知k可以取1,故排除B. 故选A.,
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