资源描述
9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,高考理数,1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和 圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为.,知识清单,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,【知识拓展】 1.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. 2.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 3.过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB的方程:x0x+y0y=r2. 4.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB的方程:(x0-a)(x -a)+(y0-b)(y-b)=r2.,1.直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径长直线与圆只有一个公共点直线和圆 的方程组成的方程组只有一组解; 2.直线与圆相交圆心到直线的距离小于半径长直线与圆有两个公共点直线和圆的方程 组成的方程组有两组解; 3.直线与圆相离圆心到直线的距离大于半径长直线与圆无公共点直线和圆的方程组成 的方程组无解. 例1 (2015贵州贵阳一模,3,5分)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心 解题导引 导引一:求圆心到直,突破方法,方法1 直线和圆的位置关系,线的距离 比较圆心到直线的 距离与半径的大小 结论 导引二:求直线所过的定点 判断该定点与 圆的位置关系 结论 解析 解法一:直线方程可化为kx-y+1=0,圆心到直线的距离d= , 1,0d12,直线与圆一定相交,且不过圆心,故选C. 解法二:直线y=kx+1过定点(0,1),而点(0,1)在圆内, 直线与圆一定相交, 又直线斜率存在, 直线不过圆心,故选C. 答案 C 1-1 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 ( ) A.- , B.(- , ),C. D. 答案 C 解析 设直线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0, 因为直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点, 所以圆心到直线的距离d小于或等于半径, 即d= 1,解得- k .,涉及圆的弦长问题时,一般采用几何法,如图,直线被圆截得的半弦长 ,弦心距d和圆的 半径r构成直角三角形,则r2= +d2. 图,图,方法2 有关弦长问题的解法,若用代数法,则联立直线方程和圆的方程得方程组. (1)解方程组得A、B点的坐标,再由两点间的距离公式求弦长|AB|(如图). (2)消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系可得弦长公式|AB|= |x1-x2 |= |y1-y2|,其中k为直线的斜率且k0.特别地,当k=0时,可直接利用 |AB|=|x1-x2|计算;当斜率不 存在时,可直接利用|AB|=|y1-y2|计算. 例2 已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0. (1)mR时,证明l与C总相交; (2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长. 解析 (1)证明:直线的方程可化为y+3=2m(x-4), 由点斜式可知,直线过点P(4,-3). 由于42+(-3)2-64+12(-3)+20=-150, 所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交. (2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最,短. 此时PCl,又kPC= =3,所以直线l的斜率为- , 则2m=- ,所以m=- . 在RtAPC中,|PC|= ,|AC|=r=5, 所以|AB|=2 =2 . 故当m=- 时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为2 . 2-1 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4 ,求l的方程; (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.,解析 (1)解法一:如图所示,AB=4 ,D是AB的中点,则CDAB,AD=2 ,圆x2+y2+4x-12y+24=0可 化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4,故AC=4,在RtACD中,CD= =2. 当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.,点C到直线AB的距离d= =2, 解得k= . 此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,与圆C的方程联立并消去x,得y2-12y+24=0,y1=6+2 ,y2=6- 2 , y1-y2=4 ,故x=0满足题意, 所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0. 解法二:当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 联立直线与圆的方程得 消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0. 设方程的两根为x1,x2, 由根与系数的关系得 ,由弦长公式得 |x1-x2| = =4 , 将代入,解得k= , 此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 又可知直线l的斜率不存在时也满足题意,此时直线l的方程为x=0, 所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为E(x,y), 则CEPE,即 =0,(x+2,y-6)(x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.,
展开阅读全文