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9.1 直线方程和两条直线的位置关系,高考理数,1.直线的倾斜角与斜率,知识清单,任何直线都有倾斜角,当倾斜角为90时,斜率不存在. 2.两条直线的斜率与这两条直线平行、垂直的关系,3.直线方程的几种形式,4.两条直线的交点坐标 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则这两条直线的 交点坐标 就是方程组 的解. (1)若方程组有唯一解,则这两条直线 相交 ,此解就是 交点坐标 ; (2)若方程组无解,则这两条直线 平行 ,此时这两条直线 无交点 ,反之,亦成立. 5.距离,【知识拓展】 符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几种: (1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为k(y-y0)=x-x0. (2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C=0(CC). (3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0. (4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+ C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).,求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出tan 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角的取值范围. 例1 (2015山东潍坊期末,5,5分)若过点P(-2 ,-2)的直线与圆x2+y2=4有公共点,则该直线的倾斜 角的取值范围是( ) A. B. C. D.,突破方法,方法1 直线的倾斜角与斜率,设直线的点斜式方程 根据圆心到直线 的距离小于或等于 半径列不等式 求出k的取值范围 结论 解析 易知直线的斜率存在,设直线方程为y+2=k(x+2 ), 即kx-y+2 k-2=0, 因为直线与圆有公共点, 所以 2,解得0k , 所以直线的倾斜角的取值范围是 . 答案 B,解题导引,1.判定两直线平行的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若都存在,则化成斜截式,若k1=k2且b1b2,则两直线平行;若斜率 都不存在,还要判定两直线是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10. 2.判定两直线垂直的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,则化成斜截式,若k1k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜 率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1l2A1A2+B1B2=0.,方法2 两条直线的平行与垂直,A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解题导引 由垂直得两直线方程中系数关系 求a 结论 解析 若l1l2,则a(3-a)+2(-1)=0, 解得a=1或a=2, 所以“a=1”是“l1l2”的充分不必要条件,故选B. 答案 B 2-1 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使: (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1l2; (3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1. 解析 (1)由题意得 ,例2 (2015四川德阳二诊,2)已知直线l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,则“a=1”是“l1l2”的 ( ),(2)由mm-82=0得m=4. 由8(-1)-nm0得n2. 即当m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2. (3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2. 又- =-1,n=8, 即m=0,n=8时,l1l2且l1在y轴上的截距为-1.,运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需 先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式. 例3 若动点A、B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小 值为 ( ) A.3 B.2 C.3 D.4 解题导引 平行线间 距离公式 求M点的 轨迹方程 点到直线的 距离公式 结论 解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原 点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为x+y+m=0,根据平行线间的 距离公式得 = ,解得m=-6,即x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的 最小值为 =3 .,方法3 距离问题,答案 A 3-1 已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为 . 答案 解析,如图,过圆心C作直线l:x-y+4=0的垂线,交圆C于A,垂足为D,则AD的长即为所求. 圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C(1,1),半径为 ,点C到直线l:x-y+4=0的距离为d= =2 , |AD|=|CD|-|AC|=2 - = ,故圆C上各点到l的距离的最小值为 .,对称包括中心对称和轴对称两种情形. 常见对称问题的求解方法: (1)中心对称 若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 若直线关于点对称,则在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两 点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1l2,由点斜式得到所求直线方 程. (2)轴对称 点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连结P1 P2的直线垂直于对称轴l,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的,方法4 对称问题,坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2). 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交; 二是已知直线与对称轴平行. 例4 已知A(3,1),B(-1,2),若ACB的平分线的方程为y=x+1,则直线AC的方程为 ( ) A.y=2x+4 B.y=x-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0 解题导引 求点B关于ACB的平分线的对称点B的坐标 求直线AC的斜率k 得到直线AC的方程 解析 设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B(x0,y0), 则有 即B(1,0).,因为B(1,0)在直线AC上, 所以直线AC的斜率为k= = , 所以直线AC的方程为y-1= (x-3), 即x-2y-1=0.故C正确. 答案 C 4-1 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 解析 (1)设B关于l的对称点为B,AB的延长线交l于P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB| |AB|=|P0A|-|P0B|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.,易求得直线BB的方程为x+3y-12=0, 设B(a,b),则a+3b-12=0, 又线段BB的中点 在l上,故3a-b-6=0. 由解得a=3,b=3,所以B(3,3).,所以AB所在直线的方程为2x+y-9=0. 由 可得P0(2,5). (2)设C关于l的对称点为C,与(1)同理可得C . 连结AC交l于P1,在l上另任取一点P,有|PA|+|PC|=|PA|+|PC|AC|=|P1C|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即 为所求. 又AC:19x+17y-93=0, 联立 得P1 .,
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