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第四节 数系的扩充与复数的引入,【知识梳理】 1.复数的有关概念,a+bi,a,b,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,a=c且b=-d,实轴,虚轴,2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a,bR) 复平面内的点Z(a,b) 向量 .,3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(2)复数加法的运算律: 设z1,z2,z3C,则复数加法满足以下运算律: 交换律:z1+z2=_; 结合律:(z1+z2)+z3=_.,z2+z1,z1+(z2+z3),【特别提醒】 1.i的乘方具有周期性 in= (kZ).,2.复数的模与共轭复数的关系 z =|z|2=| |2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小. (2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,dR的前提条件.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-2P112习题3.2A组T5(3)改编)复数 的共轭复数是 ( ) A.2-i B.2+i C.3-4i D.3+4i,【解析】选C.原式= =(2+i)2=3+4i. 所以其共轭复数为3-4i.,2.(选修2-2P116A组T1(3)改编)若复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为( ) A.m1 B.m C.m1 D. m1,【解析】选D.m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i 由题意，得 解得 m1.,感悟考题 试一试 3.(2015广东高考)已知i是虚数单位,则复数 (1+i)2=( ) A.-2 B.2 C.-2i D.2i 【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.,4.(2015全国卷)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i, 则a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0, a2-4=-4,解得a=0.,5.(2015北京高考)复数i(1+i)的实部为 . 【解析】i(1+i)=-1+i,所以实部为-1. 答案:-1,考向一 复数的有关概念 【典例1】(1)(2015湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为 ( ) A.i B.-i C.1 D.-1 (本题源自A版选修2-2P116B组T2),(2)(2015天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i) 是纯虚数,则实数a的值为 . 【解题导引】(1)根据in(nN*)的周期性化简i607,再 求其共轭复数. (2)先根据复数的乘法法则化简,再由纯虚数的定义列 方程求实数a.,【规范解答】(1)选A.因为i607=(i2)303i=-i,-i的共轭复数为i,所以应选A. (2)复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a0,所以a=-2. 答案:-2,【母题变式】1.若本例题(2)条件“纯虚数”变为 “实数”,试求实数a的值. 【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是实数, 所以1-2a=0,即a= .,2.若本例题(2)条件“复数(1-2i)(a+i)是纯虚数”变 为“复数(1-2i)(a+i)的模是5”,试求实数a的值. 【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i, 所以|(1-2i)(a+i)|= =5, 即a2=4,a=2.,【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,【变式训练】(2015重庆高考)设复数a+bi(a,bR) 的模为 ,则(a+bi)(a-bi)= . 【解析】因为复数a+bi(a,bR)的模为 , 即 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3. 答案:3,【加固训练】 1.(2014新课标全国卷)设z= ，则|z|=( ) 【解析】选B.,2.(2014山东高考)已知a,bR,i是虚数单位. 若a+i=2-bi，则(a+bi)2=( ) A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i 【解析】选A.因为a+i=2-bi， 所以a=2,b=-1， 所以(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.,3.(2014大纲版全国卷)设z= ，则z的共轭复数 为( ) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i 【解析】选D. 则 =1-3i.,4.设mR，m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数 单位，则m=_. 【解析】m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数 m=-2. 答案：-2,考向二 复数的几何意义 【典例2】(1)(2015安徽高考)设i是虚数单位, 则复数 在复平面内所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)(2014全国卷)设复数z1,z2在复平 面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i,【解题导引】(1)先将所给复数化简为a+bi的形式,再求解. (2)转化点的对称问题即可.,【规范解答】(1)选B. =-1+i, 其对应点的坐标为(-1,1),此点在第二象限. (2)选A.因为z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5.,【规律方法】复数几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系， 即z=a+bi(a，bR)Z(a，b) . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.,【变式训练】(2016石家庄模拟) 如图,在复平面内,点A表示复数z,则 图中表示z的共轭复数的点是( ) A.A B.B C.C D.D,【解析】选B.设点A表示复数z=a+bi,其中a0,所 以其共轭复数是 =a-bi,在图中应该是点B对应的复 数,故选B.,【加固训练】 1.(2016太原模拟)复数z= (i为虚数单位)， z在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选A.因为 所以z在复平面内所对应的点 在第一 象限.,2.在复平面内，复数z= (i为虚数单位)的共轭 复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】选D.z= =i+1, =1-i.所以复数z的共轭复数对应的点位于第四象限.,3.复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的 点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为z=i(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的点在第二象限,所以选B.,考向三 复数的四则运算 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:复数的加、减、乘法运算 【典例3】(2015北京高考)复数i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i (本题源自A版选修2-2P112习题3.2A组T4(1),【解题导引】根据复数乘法法则计算,注意i2=-1. 【规范解答】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i.,命题方向2:复数的除法运算 【典例4】(2014全国卷) = ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解题导引】根据幂的运算法则把(1+i)3降幂运算.,【规范解答】选D. 【一题多解】解答本题，还有以下解法： 选D.,命题方向3：解简单的复数方程 【典例5】(2015全国卷)设复数z满足 则|z|=( ) A.1 B. C. D.2 (本题源自A版选修2-2P116B组T1),【解题导引】将 化为z=a+bi(a,bR)的形式， 利用|z|= 求解. 【规范解答】选A.因为 ， 所以 故|z|=1.,【技法感悟】 利用复数的四则运算求复数的一般思路 (1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算.,(2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简. (3)解简单的复数方程： 利用复数的四则运算求解即可.,【题组通关】 1.(2015四川高考)设i是虚数单位，则复数 =( ) A.-i B.-3i C.i D.3i 【解析】选C.,2.(2015湖南高考)已知 =1+i(i为虚数单位)， 则复数z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解析】选D验证各选项，只有=-时，,3.(2015山东高考)若复数z满足 =i，其中i为 虚数单位，则z=( ) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 【解析】选A.由 =i，得 =i(1-i)=1+i,z=1-i.,【加固训练】 1.(2014福建高考)复数(3+2i)i等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【解析】选B由复数的乘法运算得(3+2i)i=3i+2i2 =-2+3i.,2.(2014天津高考)i是虚数单位，复数 =( ) A.1-i B.-1+i C. D. 【解析】选A.,
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