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第四节 合情推理与演绎推理,【知识梳理】 1.合情推理,部分,全部,部分,整体,个别,一般,类似,特征,特征,特征,特殊,特殊,类比,猜想,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的 结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理 是由一般到_的推理.,特殊,(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 大前提已知的_; 小前提所研究的_; 结论根据_,对特殊情况作出的判断.,一般原理,特殊情况,一般原理,【特别提醒】 合情推理与演绎推理的关系 (1)合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.,(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-2P77练习T1改编)已知数列an中,a1=1, n2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是 ( ) A.an=3n-1 B.an=4n-3 C.an=n2 D.an=3n-1,【解析】选C.a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.,2.(选修2-2P77练习T3改编)在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为 .,【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为12,所以体积比为18. 答案:18,感悟考题 试一试 3.(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .,【解析】由丙可知,乙至少去过一个城市,由甲说可知甲去过A,C,且比乙多,故乙只去过一个城市,且没有去过C城市,故乙只去过A城市. 答案:A,4.(2016邵阳模拟)在平面几何中:ABC的C内角平 分线CE分AB所成线段的比为 把这个结论类比 到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),DEC平分二面角A-CD-B 且与AB相交于点E,则得到类比的结论是 .,【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的 比可得 答案:,考向一 类比推理 【典例1】(1)(2016蚌埠模拟)已知双曲正弦函数 shx= 和双曲余弦函数chx= 与我们学过的 正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正、余 弦函数的和角或差角公式,写出双曲正弦函数或双曲余 弦函数的一个类似的正确结论 .,(2)如图,在RtABC中,C=90,设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.,【解题导引】(1)将双曲正弦函数shx= 和双曲 余弦函数chx= ,右端相乘,化简整理,再对比正 弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论. (2)考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选 取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比 对象.,【规范解答】(1)chxchy-shxshy = (ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y) = 2ex-y+2e-(x-y)= =ch(x-y). 答案:ch(x-y)=chxchy-shxshy,(2)如题图所示,在RtABC中,C=90. 设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股 定理,得c2=a2+b2. 类似地,在四面体P-DEF中,PDF=PDE =EDF=90.设S1,S2,S3和S分别表示PDF,PDE,EDF和PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2, S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S12+S22+S32成立.,【母题变式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.,【解析】如图,在RtABC中, cos2A+cos2B=,于是把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想,三棱锥P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC, PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为,则cos2+cos2+cos2=1.,2.本例(2)条件改为“如图,作CDAB于点D,则有 ”.类比该性质,试给出空间中四面体性质的猜想.,【解析】类比猜想: 四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD, 则 如图,连接BE交CD于点F,连接AF,因为ABAC,ABAD,ACAD=A, 所以AB平面ACD,而AF平面ACD,所以ABAF. 在RtAEF中,AEBF, 所以 易知在RtACD中,AFCD, 所以 猜想正确.,【规律方法】 1.类比推理的几个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面考虑类比:,类比定义; 类比性质; 类比方法; 类比结构.,2.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).,【变式训练】(2016湖北八校联考)已知ABC的顶点 A,B分别是离心率为e的圆锥曲线 =1的焦点.顶点 C在该曲线上;一同学已正确地推得:当mn0时有 e(sinA+sinB)=sinC.类似地,当m0,n0时,有 . 【解题提示】把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三 角形推导结论.,【解析】当mn0时, 为椭圆, |AC|+|BC|= e(sinA+sinB)=sinC.,当m0,n0时, 为双曲线, |AC|-|BC|= e|sinA-sinB|=sinC. 答案:e|sinA-sinB|=sinC,【加固训练】 1.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当 时,其离心率为 ,此类椭圆被称为 “黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可 推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( ),【解题提示】根据“黄金椭圆”的性质是 , 可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质. 【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为 则B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中,所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等号两边同除以a2,得e=,2.把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形, 则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径,以此可 求得外接圆半径r= (其中a,b为直角三角形两直 角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a,b,c且两 两垂直的三棱锥的外接球半径R= .,【解析】由平面类比到空间,把矩形类比为长方体, 从而得出外接球半径为 . 答案:,考向二 归纳推理 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:与数列(数字)有关的推理 【典例2】(1)(2016新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为 ( ),A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014,(2)(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个 三角形数为 记第n个k边形数为N(n, k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:,三角形数 N(n,3)= n2+ n, 正方形数 N(n,4)=n2, 五边形数 N(n,5)= n2- n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .,【解题导引】(1)设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15, a+16,a+17,a+18,根据题意求和验证. (2)通过观察,得出N(n,k)的通项公式:N(n,k)=akn2+ bkn(k3),然后分别得出ak与bk的通项公式,便可代入求解.,【规范解答】(1)选B.根据题干图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然数.,(2)三角形数 N(n,3)= 正方形数 N(n,4)=n2= 五边形数 N(n,5)= 六边形数 N(n,6)=2n2-n= k边形数 N(n,k)=,所以N(10,24)= =1000. 答案:1000,命题方向2:与不等式有关的推理 【典例3】(2016宝鸡模拟)观察下列不等式,照此规律,第五个不等式为 .,【解题导引】观察不等式两边式子的特点,总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系.,【规范解答】左边的式子的通项是 右边式子的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发 现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不 等式为 答案:,命题方向3:与图形有关的推理 【典例4】(2016成都模拟)某种平面分形图如图所示, 一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两 夹角为120;二级分形图是在一级分形图的每条线段 的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,且这两条 线段与原线段两两夹角为120,依此规律得到n级 分形图.,(1)n级分形图中共有 条线段. (2)n级分形图中所有线段长度之和为 .,【解题导引】(1)根据图形找出线段的生发规律. (2)由分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为 原来 的线段,可得n级分形图中第n级的所有线段的长 度为bn=3 (nN*).,【规范解答】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3=(32-3)条线段,二级分形图有9=(322-3)条线段,三级分形图中有21=(323-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数an=32n-3(nN*).,(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原 来 的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度 为bn=3 (nN*),所以n级分形图中所有线段长度 之和为Sn= 答案:(1)32n-3(nN*) (2)9-9,【技法感悟】 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题:主要是观察数字特点,找出等式左右两侧的规律.,(2)与不等式有关的推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律. (3)与图形有关推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论.,【题组通关】 1.(2016广元模拟)观察(x2)=2x,(x4)=4x3, (cosx)=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数 f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则 g(-x)= ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x),【解析】选D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当f(x)是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).,2.(2016潮州模拟)如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10以此类推,则第99个等式为 ( ),20+21=3 20+22=5 21+22=6 20+23=9 21+23=10 22+23=12 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 A.27+213=8320 B.27+214=16512 C.28+214=16640 D.28+213=8448,【解析】选B.依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0, 4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);,又因为99=(1+2+ 3+13)+8,因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27+214=16512.,3.(2013陕西高考)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, 照此规律,第n个等式可为 .,【解析】12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), ,12-22+32-42+(-1)n+1n2 =(-1)n+1(1+2+n)=(-1)n+1 . 答案:12-22+32-42+(-1)n+1n2 =(-1)n+1,【加固训练】(2016达州模拟)有一个奇数组 成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 ,19 27 29 则第30行从左到右第3个数是 .,【解析】观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30 行的第1个数是1+4+6+8+10+60= -1=929. 又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比 第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1 个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右 第3个数是929+60+62=1051. 答案:1051,考向三 演绎推理 【典例5】(2016保定模拟)数列an的前n项和记为 Sn,已知a1=1,an+1= Sn(nN*),证明: (1)数列 是等比数列. (2)Sn+1=4an.,【解题导引】(1)利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1. (2)根据 是等比数列得到Sn+1与Sn-1的关系,再利用 an= Sn-1证明.,【规范解答】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 所以 (小前提) 故 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了),(2)由(1)可知 所以Sn+1=4(n+1) =4an(n2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论),【误区警示】解答本题会出现以下错误: 不知利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1,从而导致解题无思路.,【规律方法】三段论的依据及应用时的注意点 (1)三段论推理的依据是:如果集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. (2)应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.,【变式训练】已知函数f(x)=- (a0,且a1). (1)证明:函数y=f(x)的图象关于点 对称. (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.,【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点 (x,y),它关于点 对称的点的坐标为(1-x,-1-y).,所以-1-y=f(1-x)，即函数y=f(x)的图象关于点 对称,(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. 所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.,【加固训练】 1.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y= 是对数函数(小前提),所以y= 是增函数(结论)”, 以上推理错误的原因是 ( ),A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提错误导致结论错误,【解析】选A.当a1时,函数y=logax是增函数;当0a1时,函数y=logax是减函数.故大前提错误导致结论错误.,2.(2016惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数 组成集合M:函数y=f(x)(xD),对任意x,y, D均 满足 当且仅当x=y时等号成立. (1)若定义在(0,+)上的函数f(x)M,试比较f(3)+ f(5)与2f(4)的大小. (2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)M.,【解析】(1)对于 f(x)+f(y),令x=3,y=5 得f(3)+f(5)2f(4). (2) g(x1)+g(x2)= 所以 g(x1)+g(x2),所以 g(x)M.,3.已知函数y=f(x)满足:对任意a,bR,ab,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),试证明:f(x)为R上的单调增函数.,【证明】设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0, f(x2)-f(x1)(x2-x1)0, 因为x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)为R上的单调增函数.,
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