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第三节 基本不等式,【知识梳理】 1.重要不等式 a2+b2_(a,bR)(当且仅当_时等号成立).,2ab,a=b,2.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件是_. (2)等号成立的条件是:当且仅当_时取等号. (3)其中 称为正数a,b的_, 称为 正数a,b的_.,a0,b0,a=b,算术平均数,几何平均数,3.利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则: (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有_ 值是2 (简记:_). (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有_ 值是 (简记:_).,最小,积定和最小,最大,和定积最大,【特别提醒】 1.运用基本不等式时的注意点 “拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.,2.常用的几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (2) 2(a,b同号). (3)ab (a,bR). (4) (a,bR).,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P100习题3.4A组T1(2)改编)设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为 ( ) A.80 B.77 C.81 D.82,【解析】选C.xy =81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.,2.(必修5P100习题3.4A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 .,【解析】设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m, 由题知0x10,则面积S=x(10-x) =25, 当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立, 故当矩形的长与宽相等,都为5时面积取到最大值25 m2. 答案:25m2,感悟考题 试一试 3.(2015湖南高考)若实数a,b满足 则ab的 最小值为( ),【解析】选C因为 所以a0,b0， 由 所以ab2 (当且仅当=2时取等号)， 所以ab的最小值为2 ,4.(2015天津高考)已知a0,b0,ab=8,则当a的值为 时,log2alog2(2b)取得最大值.,【解析】log2alog2(2b) =4,当a=2b时取等号,结合a0,b0,ab=8, 可得a=4,b=2. 答案:4,5.(2014上海高考)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 . 【解析】x2+2y2=x2+( y)22x( y)=2 , 所以x2+2y2的最小值为2 . 答案:2,考向一 利用基本不等式求最值 【典例1】(2016武汉模拟)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ( ) A.8 B.4 C.2 D.0,【解题导引】依据题意由基本不等式得x+2y=xy 从而求得x+2y的最小值或者化简x+2y- xy=0,得 =1,然后变换x+2y的形式,利用基本不等 式求出x+2y的最小值即可.,【规范解答】选A.因为x0,y0, 所以xy= 又x+2y=xy, 所以x+2y 由x0,y0,解得x+2y8,当且仅当x=2y时,等号成立, 所以x+2y的最小值为8.,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 选A.由x+2y-xy=0,得x+2y=xy, 当且仅当x=2y时取等号.,【母题变式】 1.若把本例的条件改为已知正数x,y满足x+2y=1,则 的最小值为 .,【解析】因为正数x,y满足x+2y=1, 当且仅当 即x=2y时取等号. 答案:8,2.若把本例条件改为“已知x0,y0,lg2x+lg8y=lg2”, 求 的最小值. 【解析】因为lg2x+lg8y=lg2,所以lg(2x8y)=lg2, 所以2x+3y=2. 所以x+3y=1,因为x0,y0,【规律方法】利用基本不等式求最值的方法 (1)知和求积的最值:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点: 具备条件正数;验证等号成立.,(2)知积求和的最值:“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.,【变式训练】(2015陕西高考)设f(x)=lnx,0p C.p=rq,【解题提示】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可. 【解析】选C.由条件可得p= = ln(ab)= (lna+lnb), r= (f(a)+f(b)= (lna+lnb)=p,【加固训练】 1.已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,则 的最小值 为 .,【解析】因为a0，b0，c0，且a+b+c=1， 当且仅当a=b=c= 时，取等号 答案：9,2.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 . 【解析】由a,bR+,由基本不等式得a+b2 ,则 ab=a+b+32 +3, 即ab-2 -30( -3)( +1)0 3, 所以ab9. 答案:9,+),3.已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,若 存在两项am,an,使得 则 的最小值为 .,【解析】设公比为q(q0),由a7=a6+2a5 a5q2=a5q+2a5q2-q-2=0(q0)q=2. a12m-1a12n-1=8a122m-12n-1=8 m+n-2=3m+n=5,当且仅当n=2m= 时等号成立. 答案:,4.(2015浙江高考)已知函数f(x)= 则f(f(-2)= ,f(x)的最小值是 . 【解题提示】利用分段函数求值,利用基本不等式求最值.,【解析】f(-2)=(-2)2=4,所以f(f(-2)=f(4)=4+ - 6=- .当x1时,f(x)0,当x1时,f(x)2 -6, 当x= ,即x= 时取到等号,因为2 -60,所以函数 的最小值为2 -6. 答案:- 2 -6,考向二 不等式的实际应用 【典例2】(2016仙桃模拟)某工厂某种产品的年固定 成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当 年产量不足80千件时,C(x)= x2+10x(万元).当年产量 不小于80千件时,C(x)=51x+ -1450(万元).每件 商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品 能全部售完.,(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式. (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解题导引】(1)根据题意,分段列出函数解析式. (2)分段讨论,根据二次函数和基本不等式求解.,【规范解答】(1)因为每件商品售价为0.05万元, 则x千件商品销售额为0.051000x万元,依题意得: 当0x80时,L(x)=(0.051000x)- x2-10x-250= - x2+40x-250.,当x80时,L(x)=(0.051000x)-51x- +1450 -250=1200- 所以L(x)=,(2)当0x80时,L(x)=- (x-60)2+950. 此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元. 当x80时,L(x)=1200- 1200-2 =1200-200=1000. 此时x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元. 由于9501000, 所以,当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.,【规律方法】利用基本不等式求解实际应用题的注意事项 (1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.,(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.,【变式训练】某化工企业2015年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).,(1)用x表示y. (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.,【解析】(1)由题意得, y= 即y=x+ +1.5(xN*).,(2)由基本不等式得: y=x+ +1.52 +1.5=21.5, 当且仅当x= ,即x=10时取等号. 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.,【加固训练】 1.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.,【解析】设x为仓库与车站距离, 由已知y1= ,y2=0.8x. 费用之和y=y1+y2=0.8x+ 2 =8, 当且仅当0.8x= 即x=5时“=”成立. 答案:5,2.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?,【解析】由题意可得，总造价 当且仅当x= ，即x=4时取等号故当侧面的长度为 4米时，总造价最低.,考向三 基本不等式的综合应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求与其他知识交汇的最值问题 【典例3】(1)(2015四川高考)如果函数f(x)= (m- 2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间 上单调递减, 那么mn的最大值为( ) A.16 B.18 C.25 D.,(2)(2016兰州模拟)设x,y满足约束条件 若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为35,则a+b的 最小值为 .,【解题导引】(1)求出二次函数的对称轴,判断单调区间与对称轴的关系,再利用基本不等式求最值. (2)画出可行域,利用基本不等式求解.,【规范解答】(1)选B.f(x)=(m-2)x+n-8=0得x=- 当m2时,抛物线的对称轴为x=- ,据题意, 2,即2m+n12. 因为 所以mn18,由2m+n=12且 2m=n得m=3,n=6.当m2时,抛物线开口向下,据题意得:,即2n+m18,因为 所以mn 由2n+m=18且2n=m得m=9(舍).要使得mn取最 大值,应有2n+m=18(m8),所以mn=(18-2n) n(18-28)8=16.综上所述最大值为18.,(2)可行域如图所示,当直线abx+y=z(a0,b0)过点 B(2,3)时,z取最大值2ab+3,于是有2ab+3=35,ab=16, 所以a+b2 =2 =8,当且仅当a=b=4时等号成立, 所以(a+b)min=8. 答案:8,命题方向2:求参数的值或取值范围 【典例4】(2016太原模拟)正数a,b满足 =1,若 不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ) A.3,+) B.(-,3 C.(-,6 D.6,+),【解题导引】先求出a+b的最小值,然后将不等式转化,转化为求二次函数的最值问题,求出m的取值范围.,【规范解答】选D.因为a0,b0, 所以 由题意,得16-x2+4x+18-m, 即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x2-4x-2的最小值为-6, 所以-6-m, 即m6.,【技法感悟】 1.求与其他知识交汇的最值问题的策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.,2.求参数的值或取值范围的策略 观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.,【题组通关】 1.(2016岳阳模拟)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且 ab,若x,y均为正数,则 的最小值是 ( ),【解析】选C.因为ab, 所以-2x-3(y-1)=0,化为2x+3y=3, 所以 当且仅当2x=3y= 时取等号. 所以 的最小值是8.,2.(2016厦门模拟)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当xR 时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是 ( ) A.(-,-1) B.(-,2 -1) C.(-1,2 -1) D.(-2 -1,2 -1),【解析】选B.由f(x)0得32x-(k+1)3x+20, 解得k+13x+ ,而3x+ 2 (当且仅当3x= , 即x=log3 时,等号成立), 所以k+12 ,即k2 -1.,3.(2016武汉模拟)已知各项为正的等比数列an 中,a4与a14的等比中项为2 ,则2a7+a11的最小值为 .,【解析】由已知a4a14=(2 )2=8. 再由等比数列的性质有a4a14=a7a11=8. 又因为a70,a110, 所以2a7+a11 =8. 当且仅当2a7=a11时等号成立. 答案:8,【加固训练】 (2016榆林模拟)已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过 圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则 的最小值是 ( ) A.9 B.8 C.4 D.2,【解析】选A.圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程, 得x2+(y-1)2=6,所以圆x2+y2-2y-5=0的圆心为C(0,1), 因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C, 所以a0+b1+c-1=0,即b+c=1,因此, 因为b,c0,所以 当且仅当 时等号成立. 由此可得b=2c,且b+c=1,即 取得最小值9.,
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