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第六节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.正弦定理 _, 其中R是ABC的外接圆半径.,2.余弦定理 a2=_,cosA=_; b2=_,cosB=_; c2=_,cosC=_.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.勾股定理 在ABC中,C=90_.,a2+b2=c2,【特别提醒】 1.正弦定理的其他形式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. (2) (3)abc=sinAsinBsinC.,2.解三角形时用到的平面几何知识 (1)A+B+C=,(2)两边之和大于第三边 a+bc,a+cb,c+ba. 3.三角形中的射影定理 在ABC中,a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=bcosA+acosB.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P10习题1.1B组T2改编)在ABC中,若sin2A+ sin2Bsin2C,则ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,【解析】选C.由正弦定理,得 代入得到a2+b2c2,由余弦定理得cosC= 0, 所以C为钝角,所以该三角形为钝角三角形.,2.(必修5P4练习T1(2)改编)在ABC中,已知A=60, B=75,c=20,则a= . 【解析】C=180-(A+B)=180-(60+75)=45. 由正弦定理,得 答案:,感悟考题 试一试 3.(2015广东高考)设ABC的内角A，B，C的对边分 别为a,b,c.若 则b=_.,【解析】因为 答案：1,4.(2015合肥模拟)已知在ABC中,a2=b2+bc,acosB+ bcosA=csinC,则B= . 【解析】由于acosB+bcosA=c,所以c=csinC, sinC=1.又0C,所以C= . 由于a2=b2+bc及a2=b2+c2-2bccosA, 所以bc=c2-2bccosA,b=c-2bcosA,由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcosA, 因为A+B= ,所以cosA=sinB, 所以2sin2B+sinB-1=0, 因为sinB0,所以sinB= ,B= . 答案:,考向一 正弦定理、余弦定理的简单应用 【典例1】(1)(2016黄冈模拟)在ABC中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= b,且 ab,则B=( ),(2)如果满足ABC=60,AC=12,BC=k的ABC恰有一个,那么k的取值范围是 ( ) A.k=8 B.0k12 C.k12 D.0k12或k=8,【解题导引】(1)利用正弦定理,将边化为角,借助式子的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题. (2)由正弦定理和三角函数的图象求解.,【规范解答】(1)选A.根据正弦定理, 设 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 将它们代入asinBcosC+csinBcosA= 整理得sinAcosC+cosAsinC= 即sin(A+C)=,又sin(A+C)=sin(-B)=sinB, 所以sinB= 因为ab,所以B必为锐角,所以B=,【一题多解】解答本题还有以下解法： 由asin Bcos C+csin Bcos A= 得sin B(acos C+ccos A)= 所以 因为ab,所以B必为锐角，所以,(2)选D.由正弦定理得 因为 所以由图象可以知道当且仅当k= 或0k12时有唯一的k.,【母题变式】 1.在本例(2)中,条件改为“ABC中,ABC=60, AC=12,BC=k”,讨论k的取值范围对三角形解的个数的影响.,【解析】由 画出函数 图象，,可知(1)当k=8 或08 时三角形无解. (3)当12k8 时三角形有两个解.,2.在本例(2)中,条件改为“ABC中,ABC=60, AC=12,BC=14”,判断三角形解的情况. 【解析】由正弦定理得 所以不存在满足条件的三角形,故三角形无解.,【规律方法】 1.利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解,一解和无解三种情况.,在ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表,2.利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角. (2)已知三边,求三个内角.,易错提醒:(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或丢解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍. (2)求角时忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.,【变式训练】(2015安徽高考)在ABC中,AB= , A=75,B=45,则AC= . 【解析】由正弦定理可知: 答案:2,【加固训练】 1.(2016长沙模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知b=2， 则ABC的面积为( ),【解析】选B.因为 由正弦定理得 所以三角形的面积为,2.(2016阜阳模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别是 a,b,c,若B=2A,a=1,b= ,则c= ( ) A.2 B.2 C. D.1,【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A, 由正弦定理知 所以c2=a2+b2=1+3=4,c=2.,3.(2016宿州模拟)已知ABC的内角A,B,C所对的边 分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是 . 【解析】a2+ab+b2-c2=0cosC= 答案:,考向二 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 【典例2】(1)(2016洛阳模拟)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,(2)(2016成都模拟)在ABC中,a,b,c分别 为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+ (2c+b)sinC. 求A的大小; 若sinB+sinC=1,试判断ABC的形状.,【解题导引】(1)由正弦定理把边化为角,求出角A. (2)先由正弦定理把角化为边,再用余弦定理求角; 用三角恒等变换公式求出B,C,判断三角形的形状.,【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1, 所以A为直角,所以三角形ABC是直角三角形.,(2)由已知,结合正弦定理, 得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc, 又由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA, 所以bc=-2bccosA,即cosA=- , 由于A为三角形的内角,所以A= .,对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC, 结合正弦定理, 有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC, 即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC= 又由sinB+sinC=1, 得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,所以sinBsinC= 从而有sinB=sinC= 因为0B,0C,0B+C, 所以B=C= 所以ABC是等腰的钝角三角形.,【易错警示】解答本例题(2)会出现以下错误: (1)求得cosA= 后,得A= 或A= ,这是由于记错了 特殊角的三角函数值而致误. (2)求得sin2A= 后,开方得sinA= ,这是忽略了角 的范围和三角函数的符号而致误.,【规律方法】 1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在ABC中,c是最大的边, 若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形.,2.判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中有边又有角,则 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.,【变式训练】(2016蚌埠模拟)若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC=51113,则ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形,【解析】选C.由sinAsinBsinC=51113及正弦 定理得abc=51113. 由余弦定理得cosC= 0,所以C为钝角, 即ABC一定是钝角三角形.,【加固训练】 1.(2016汕头模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,【解析】选C.由已知, 所以sin2Csin2A+sin2B. 又 =2R,所以,c2a2+b2. 由余弦定理得cosC= 0, 所以,C为钝角,三角形为钝角三角形.,2.(2016六安模拟)ABC中,如果 那么ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形,【解析】选B.由正弦定理及 整理得cosA=cosB=cosC,因为A,B,C为三 角形内角, 所以ABC是等边三角形.,3.(2016青岛模拟)在ABC中,若 则ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,【解析】选B.利用正弦定理化简已知等式得: 即tanA=tanB=tanC,因为A,B,C为 三角形内角,所以A=B=C,则ABC为等边三角形.,4.(2016十堰模拟)给出下列命题: 若tanAtanB1,则ABC一定是钝角三角形; 若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形; 若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形. 以上正确命题的序号为 .,【解析】tan(A+B)=-tanC= 0, 所以C为锐角,因为tanAtanB1,A,B为三角形内角, 则tanA0,tanB0, 所以A,B均为锐角, 所以ABC不是钝角三角形,错.,由正弦定理,得a2+b2=c2, 所以一定为直角三角形,对. 由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1可得 cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1, 所以A=B=C,对. 答案:,考向三 正弦定理、余弦定理的综合应用 【典例3】(1)(2015北京高考)在ABC中,a=4,b=5, c=6,则 = . (2)(2015重庆高考)设ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且a=2,cosC=- ,3sinA=2sinB,则c= .,【解题导引】(1)利用二倍角公式展开sin2A,再利用正、余弦定理角化边. (2)首先根据正弦定理求出b的大小,再利用余弦定理可求出c的值.,【规范解答】(1) 答案:1,(2)在ABC中,因为3sinA=2sinB. 由正弦定理可知3a=2b, 因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abcosC=4+9-223 =16, 所以c=4. 答案:4,【规律方法】与三角形的边长、角度等有关问题的求解思路 (1)若求角,则先把已知条件中的边用正弦定理、余弦定理转化为角的三角函数关系,再求解. (2)若求边,则先把已知条件中的角用正弦定理、余弦定理转化为边的关系,再求解.,【变式训练】1.(2016武汉模拟)在ABC中,内角A, B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsinA- acosB=0,且 b2=ac,则 的值为 ( ) A. B. C.2 D.4,【解析】选C.ABC中,由bsinA- acosB=0, 利用正弦定理得sinBsinA- sinAcosB=0, 所以tanB= ,故B= . 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 即b2=(a+c)2-3ac, 又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得 =2.,2.(2016南阳模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=( ),【解析】选D.因为3sinA=5sinB, 由正弦定理可得:3a=5b,所以a= 又b+c=2a,可得c=2a-b= 不妨取b=3,则a=5,c=7, 所以cosC= 因为C(0,),所以C=,3.(2015咸阳模拟)已知在锐角ABC中,2asinB= b,b=2,c=3,AD是内角的平分线,则BD= .,【解析】由2asinB= b及正弦定理得 2sinBACsinB= sinB,所以sinBAC= 因为BAC为锐角,所以BAC= 因为AD是内角平分线, 所以,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC =4+9-223 所以 答案:,【加固训练】 (2014天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分 别是a,b,c.已知b-c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值 为 .,【解析】因为2sinB=3sinC,所以2b=3c, 又b-c= a,解得b= ,a=2c. 所以cosA= 答案:-,
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