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第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面内的_一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理:,a,b,ab=O,la,lb,相交,平行,a,b,2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_所成的 _叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂 直于平面,则它们所成的角是_;一条直线和平面平 行或在平面内,则它们所成的角是_. (2)范围:_.,射影,锐角,直角,0的角,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念: 二面角:从一条直线出发的_所组成的图 形叫做二面角; 二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点 为垂足,在两个半平面内分别作_的两条射线, 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,(2)平面和平面垂直的定义: 两个平面相交,如果所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直.,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:,l,l,垂线,交线,l,=a,la,【特别提醒】 1.线面平行或垂直的有关结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).,(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2.证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的 是 ( ) A.如果平面平面,且直线l平面,则直线l平面,B.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面,平面平面,=l,那么l,【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面,也可能在平面内.,2.(必修2P73习题A组T3改编)如图,在三棱锥V-ABC中, VAB=VAC=ABC=90,则构成三棱锥的四个三角形 中直角三角形的个数为_.,【解析】 所以有4个直角三角形. 答案:4,感悟考题 试一试 3.(2015浙江高考)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m ( ) A.若l,则 B.若,则lm C.若l,则 D.若,则lm,【解析】选A.选项A中,由平面与平面垂直的判定,故正确;选项B中,当时,l,m可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项C中,l时,可以相交;选项D中,时,l,m也可以异面.,4.(2014辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若m,n,则mn C.若m,mn,则n D.若m,mn,则n,【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直 线AA1,AB1相交,故选项A错误;根据线面垂直 的定义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平 面内的任一条直线,可见选项B正确;直线AA1平面ABCD, AA1BC,但直线BC平面ABCD,故选项C错误;直线AA1 平面CC1D1D,AA1CD,但直线CD平面CC1D1D,故选项D错误.,5.(2016石家庄模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABCDEF.则下列结论不正确的是 ( ) A.CD平面PAF B.DF平面PAF C.CF平面PAB D.CF平面PAD,【解析】选D.A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DFAF. 又因为PA平面ABCDEF,所以PADF,又因为PAAF=A,所以DF平面PAF成立;,C中,因为CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB, 所以CF平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故D结论不正确.,考向一 与线面垂直有关的命题的真假判断 【典例1】(1)(2015安徽高考)已知m,n是两条不同直 线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ),A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面,(2)(2014浙江高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面 ( ) A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m,【解题导引】解答(1)(2)均可依据线面平行、垂直的判定与性质逐一判断.,【规范解答】(1)选D.,(2)选C.对A若mn,n,则m或m或m,故 A选项错误;对B若m,则m或m或m, 故B选项错误;对C若m,n,n,则m,故C选 项正确;对D若mn,n,则m或m或 m,故D选项错误.,【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性 质定理进行简单说明.,【变式训练】(2016黄山模拟)已知不同的直线l,m,不同的平面,下列命题中:若,l,则l;若,l,则l;若l,m,则lm;若,=l,ml,则m.真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选C.两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于另一个平面,故是真命题;两平面平行,若一条直线垂直于其中一个平面,则必垂直于另一个平面,故是真命题;对于,直线l也有可能与直线m异面,故是错误的;对于,若直线m不在平面内,则不成立,故是错误的.所以真命题有2个.,【加固训练】 1.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是 ( ) 平面PAB平面PBC; 平面PAB平面PAD; 平面PAB平面PCD;,平面PAB平面PAC. A. B. C. D. 【解析】选A.由PA平面ABCD,BC平面ABCD得PABC,又BCAB,PAAB=A,则BC平面PAB, 又BC平面PBC,得平面PAB平面PBC,故正确,同理可证正确.,2.(2016长沙模拟)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是 ( ) A.ac,bc B.,a,b C.a,b D.a,b,【解析】选C.对于选项C,在平面内存在mb,因为a,所以am,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.,考向二 线面垂直的判定与性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:证明直线与平面垂直 【典例2】如图所示,直角ABC所在的平面 外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求 证:直线SD平面ABC. 【解题导引】只需证明SDAC,SDBD即可.,【规范解答】因为SA=SC,点D为斜边AC的中点,所以SDAC,连接BD,在RtABC中,则AD=DC=BD, 所以ADSBDS,所以SDBD, 又因为ACBD=D,所以SD平面ABC.,【母题变式】1.在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则BD与平面SAC的位置关系是什么? 【解析】因为AB=BC,点D为斜边AC的中点, 所以BDAC, 又由例题知SDBD, 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线, 故BD平面SAC.,2.若将典例改为:已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO平面ABCD.,【证明】在PBD中,PB=PD,O为BD的中点, 所以POBD, 在PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以POAC, 又因为ACBD=O,所以PO平面ABCD.,命题方向2:利用线面垂直的性质证明线线垂直 【典例3】(2015江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,已知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1CBC1=E. 求证:(1)DE平面AA1C1C. (2)BC1AB1.,【解题导引】(1)利用线面平行的判定定理证明.(2)先证明BC1平面AB1C,再证明BC1AB1.,【规范解答】(1)由题意知,点E是B1C的中点.在三角形AB1C中,点D是AB1的中点,所以DE是三角形AB1C的中位线,所以DEAC.又因为AC平面AA1C1C,DE平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.,(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,且ACBC,所以AC平面BB1C1C,所以ACBC1.又因为BC=CC1,所以四边形BB1C1C是正方形,所以BC1B1C.又因为B1CAC=C,所以BC1平面AB1C,所以BC1AB1.,【技法感悟】 1.证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.,(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理.,2.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质.,【题组通关】 1.(2014重庆高考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O 为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD= ,M为BC上 一点,且BM= . (1)证明:BC平面POM. (2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.,【解题提示】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OMBM,再由线面垂直的判定定理证明.(2)将底面四边形ABMO分为ABO与MBO来求面积,根据(1)中结果,利用勾股定理、余弦定理求出PO,代入棱锥的体积公式求解.,【解析】(1)如图,因为ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AOOB. 因为BAD= ,故OB=ABsin =1, 又因为BM= ,且OBM= , 在OBM中, OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM,所以OB2=OM2+BM2,故OMBM,故OMBC. 又因为PO底面ABCD,所以POBC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直, 所以BC平面POM.,(2)由(1)得,OA=ABcosOAB=2cos 设PO=a,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形, 故PA2=PO2+OA2=a2+3. 由POM也是直角三角形, 故PM2=PO2+OM2=a2+ .,连接AM,在ABM中, AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM 由已知MPAP,故APM为直角三角形,则 PA2+PM2=AM2, 即a2+3+a2+ 得a= ,a=- (舍去), 即PO= .,此时S四边形ABMO=SAOB+SOMB 所以四棱锥P-ABMO的体积 VP-ABMO= S四边形ABMOPO,2.(2015广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC平面PDA. (2)证明:BCPD. (3)求点C到平面PDA的距离.,【解析】(1)因为四边形ABCD是长方形, 所以BCAD, 因为BC平面PDA,AD平面PDA, 所以BC平面PDA.,(2)因为四边形ABCD是长方形, 所以BCCD, 因为平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=CD,BC平面ABCD, 所以BC平面PDC, 因为PD平面PDC, 所以BCPD.,(3)取CD的中点E,连接AE和PE, 因为PD=PC,所以PECD, 在RtPED中,PE= 因为平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=CD, PE平面PDC,所以PE平面ABCD, 由(2)知:BC平面PDC, 由(1)知:BCAD, 所以AD平面PDC, 因为PD平面PDC,所以ADPD, 设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD, 所以 SPDAh= SACDPE, 即 所以点C到平面PDA的距离是 .,考向三 平面与平面垂直的判定与性质 【典例4】(2015全国卷改编题)如图, 四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平 面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD, BE=2DF,AEEC. 证明:平面AEC平面AFC.,【解题导引】连接BD,设BDAC=G,连接EF,EG,FG,要证明平面AEC平面AFC,只要证明EG与平面AFC垂直即可,要证明EG与平面AFC垂直,只要证明EG与AC和FG都垂直即可.,【规范解答】连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120, 可得AG=GC= . 由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC. 又AEEC,所以EG= ,且EGAC. 在RtEBG中,可得BE= ,故DF= .,在RtFDG中,可得FG= . 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE= ,DF= ,可得EF= . 从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG. 又因为ACFG=G,可得EG平面AFC. 又因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.,【规律方法】 1.面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.,(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决. 2.三种垂直关系的转化,易错提醒:两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.,【变式训练】(2015山东高考改编题)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.,【证明】连接DG.因为G,H分别为AC,BC的中点, 所以GHAB, 由ABBC,得GHBC, 又H为BC的中点, 所以EFHC,EF=HC, 因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE, 又CFBC,所以HEBC, 又HE,GH平面EGH, HEGH=H, 所以BC平面EGH, 又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.,【加固训练】 1.(2016南昌模拟)如图,已知在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形, PAD是正三角形,平面PAD平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点. (1)求证:平面EFG平面PAD. (2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.,【解析】(1)因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,CDAD, 所以CD平面PAD. 又因为PCD中,E,F分别是PD,PC的中点, 所以EFCD,所以EF平面PAD, 因为EF平面EFG,所以平面EFG平面PAD.,(2)因为EFCD,EF平面EFG,CD平面EFG, 所以CD平面EFG, 因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到 平面EFG的距离,所以VM-EFG=VD-EFG, 取AD的中点H,连接GH,EH,则EFGH, 因为EF平面PAD,EH平面PAD,所以EFEH,于是SEFH= EFEH=2=SEFG, 因为平面EFG平面PAD,平面EFG平面PAD=EH,EHD是正三角形, 所以点D到平面EFG的距离等于正EHD的高,即为 . 因此,三棱锥M-EFG的体积VM-EFG=VD-EFG=,2.(2016安阳模拟)如图,将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE翻折,连接AC,FD,形成如图所示的多面体, 且AC= . (1)证明:平面ABEF平面BCDE. (2)求三棱锥E-ABC的体积.,【解析】(1)在正六边形ABCDEF中,连接AC,BE,交点为G, 易知ACBE,且AG=CG= , 在多面体中,由AC= ,知AG2+CG2=AC2, 故AGGC, 又GCBE=G,GC,BE平面BCDE,故AG平面BCDE, 又AG平面ABEF, 所以平面ABEF平面BCDE.,(2)连接AE,CE,则AG为三棱锥A-BCE的高,GC为BCE的高. 在正六边形ABCDEF中,BE=2AF=4, 故SBCE= 所以VE-ABC=VA-BCE=,考向四 线面角与二面角的求法 【典例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,点E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小. (2)证明:AE平面PCD. (3)求二面角A-PD-C的正弦值.,【解题导引】(1)根据PA底面ABCD,找到PB在平面PAD内的射影,进而找到线面角,放在可解三角形中求解. (2)利用线面垂直的判定定理证明. (3)根据题设中垂直关系先找到二面角A-PD-C的平面角,再放在一可解三角形中求解.,【规范解答】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD, AB平面ABCD,所以PAAB.又因为ABAD,PAAD=A,所 以AB平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而APB 为PB和平面PAD所成的角.在RtPAB中,AB=PA,故APB= 45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,(2)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以CDPA.由条件CDAC,PAAC=A,所以CD平面PAC.又因为AE平面PAC,所以AECD. 由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为点E是PC的中点,所以AEPC. 又因为PCCD=C,所以AE平面PCD.,(3)过点E作EMPD,垂足为点M,连接AM,如图所示. 由(2)知,AE平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则AMPD.因此AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知,可得CAD=30.,设AC=a,可得PA=a, 在RtADP中,因为AMPD,所以AMPD=PAAD, 则AM= 在RtAEM中,sinAME= 所以二面角A-PD-C的正弦值为 .,【规律方法】 1.求空间线面角、二面角的三个步骤 (1)找:根据图形找出相关的线面角或二面角. (2)证:证明找出的角即为所求的角. (3)算:根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角.,2.空间线面角、二面角的求法 (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,作出垂线,确定垂足. (2)二面角的求法: 直接法:根据概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点,垂面法:如图1,过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角.,垂线法:如图2,过二面角的一个半平面内 一点A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向 二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的 棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其补角.,【变式训练】(2016唐山模拟)已知四棱锥P-ABCD中, PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD=120, PA=b. (1)求证:平面PBD平面PAC. (2)设AC与BD交于点O,点M为OC的中点,若二面角A-PM-D 的正切值为2 ,求ab的值.,【解析】(1)因为PA平面ABCD,所以PABD, 又因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD, 因为PAAC=A,所以BD平面PAC, 因为BD平面PBD,所以平面PBD平面PAC.,(2)过点O作OHPM交PM于点H,连接HD. 因为OD平面PAC, 所以ODPM, 又OHPM,ODOH=O, 故PM平面ODH, 可得DHPM,所以OHD为二面角A-PM-D的平面角,又因为 且 从而 所以tanOHD= 所以9a2=16b2,所以,【加固训练】 (2016怀化模拟)如图,直角梯形ABCD中,ABCD, ABBC,AB=1,BC=2,CD=1+ ,过点A作AECD,垂足为 点E,点F,G分别是CE,AD的中点,现将ADE沿AE折起, 使二面角D-AE-C的平面角为135. (1)求证:平面DCE平面ABCE. (2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值.,【解析】(1)因为DEAE,CEAE,DECE=E, DE,CE平面CDE,所以AE平面CDE, 因为AE平面ABCE,所以平面DCE平面ABCE.,(2)过点G作GHAE,与DE相交于点H,连接FH, 由(1)知AE平面CDE,所以GH平面CDE,GFH是直线 FG与平面DCE所成角, 因为点G是AD的中点,所以GH是ADE的中位线,GH=1, EH= ,因为DEAE,CEAE,所以DEC是二面角D-AE-C 的平面角,即DEC=135,在EFH中,由余弦定理得,FH2=EF2+EH2-2EFEH cosFEH 所以FH= , 因为GH平面CDE,所以GHFH, 在RtGFH中,GF= 所以直线FG与平面DCE所成角的正弦值为sinGFH=,备选考向 线、面位置关系中的探索性问题 【典例】(2016石家庄模拟)在如图所示的几何体中, 面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,ABCD,AC= , AB=2BC=2,ACFB.,(1)求证:AC平面FBC. (2)求四面体FBCD的体积. (3)线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)在ABC中, 因为AC= ,AB=2,BC=1,所以AC2+BC2=AB2,所以ACBC. 又因为ACFB,BCFB=B, 所以AC平面FBC.,(2)因为AC平面FBC,所以ACFC. 因为CDFC,ACCD=C,所以FC平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1,所以FC=1. 所以BCD的面积为S= 所以四面体FBCD的体积为VF-BCD=,(3)线段AC上存在点M,且点M为AC中点时,有EA平面FDM.证明如下: 连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN. 因为四边形CDEF是正方形,所以点N为CE的中点. 所以EAMN.,因为MN平面FDM,EA平面FDM, 所以EA平面FDM. 所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.,【规律方法】解决探索性问题的方法 (1)对命题条件的探索的三种途径 途径一:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; 途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性. 途径三:将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.,(2)对命题结论的探索方法 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,【加固训练】1.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且点P为AD的中点,点Q为SB的中点. (1)求证:CD平面SAD. (2)求证:PQ平面SCD.,(3)若SA=SD,点M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN平面ABCD?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD. 又因为平面SAD平面ABCD,且平面SAD平面ABCD=AD,所以CD平面SAD.,(2)取SC的中点R,连接QR,DR. 由题意知: PDBC且PD= BC. 在SBC中,点Q为SB的中点,点R为SC的中点, 所以QRBC且QR= BC, 所以PDQR,且PD=QR, 所以四边形PDRQ为平行四边形,所以PQDR.,又因为PQ平面SCD,DR平面SCD, 所以PQ平面SCD.,(3)存在点N为SC的中点,使得平面DMN平面ABCD. 证明如下: 连接PC,DM交于点O, 连接PM,SP,NM,ND,NO, 因为PDCM,且PD=CM, 所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.,又因为点N为SC的中点, 所以NOSP.易知SPAD, 因为平面SAD平面ABCD, 平面SAD平面ABCD=AD,并且SPAD, 所以SP平面ABCD, 所以NO平面ABCD.,又因为NO平面DMN, 所以平面DMN平面ABCD.,2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60, 点Q为AD的中点. (1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD. (2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA 平面MQB.,【解析】(1)依题意,可设AB=2a,故AQ=a, 在ABQ中,BAD=60, 由余弦定理可知,BQ2=AQ2+AB2-2AQABcosBAD =a2+(2a)2-2a2acos 60=3a2. 所以AQ2+BQ2=4a2=AB2. 所以AQB=90,所以ADBQ.,(另解:连接BD,由BAD=60,AD=AB,可知ABD为等边三角形,又因为Q为AD的中点,所以ADBQ.) 又在PAD中,PA=PD,点Q为AD的中点, 所以PQAD, 又因为PQBQ=Q,所以AD平面PQB. 又因为AD平面PAD,所以平面PQB平面PAD.,(2)连接AC交BQ于点O,连接MO, 欲使PA平面MQB, 只需满足PAOM即可. 又由已知AQBC, 易证得AQOCBO,所以,故只需 即t= 时,满足题意. 因为 所以可知PAOM,又因为PA平面MBQ,OM平面MBQ, 所以可知当t= 时,PA平面MQB.,
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