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第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式,【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:_. (2)商数关系:_.,sin2x+cos2x=1,2.三角函数的诱导公式,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,【特别提醒】 1.诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变,符号看象限.,2.特殊角的三角函数值表,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修4P21习题1.2A组T12改编)已知tan=-3,则cos2-sin2= .,【解析】由同角关系得cos2-sin2 答案:-,2.(必修4P29习题1.3B组T2改编)已知 则sin(+)= . 【解析】因为 所以sin 答案:-,感悟考题 试一试 3.(2016合肥模拟)sin585的值为 ( ) 【解析】选A.因为sin 585=sin(360+225)= sin 225=sin(180+45)=-sin 45=,4.(2016重庆模拟)设tan(5+)=m,则 的值为 ( ),【解析】选C.因为tan(5+)=m, 所以tan=m,5.(2016陕西师大附中模拟)若sin=- ,tan0, 则cos= . 【解析】由已知,在第三象限, 所以 答案:-,考向一 同角关系的应用 【典例1】(1)(2015唐山模拟)已知sin+ cos= ,则tan= ( ) (2)已知ABC中,sinA+cosA=- ,则tanA= .,【解题导引】(1)将已知两边平方转化为关于tan的方程求解. (2)根据同角关系解方程组,求解.,【规范解答】(1)选A.因为 所以 所以sin2+2 sincos+2cos2=3.,所以2tan2-2 tan+1=0. 所以tan= .,(2)列出方程组 由第一个方程得,cos=- -sin, 代入第二个方程得 即 得sinA= 或sinA=,因为ABC中00, 所以tanA= 答案:-,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 由已知得sinA0,cosA-1, 由sinA+cosA=- 两边平方,整理得,分子分母同除以cos2A得 解得tanA=- . 答案:-,【规律方法】同角关系的两个基本题型 (1)已知正切值,求正弦和余弦的齐次式的值: 整式的分母换成1,再用平方关系,构造出分子、分母都是关于正弦、余弦的齐次式; 把分子分母同除以余弦的齐次幂,转化为一个关于正切的分式; 代入已知的正切值可解.,(2)(已知正、余弦求值)已知正弦和余弦的表达式的 值求值: 关键是通过平方关系,在sin+cos,sin-cos, sincos之间建立联系,比如设sin+cos=t sincos= ,sin-cos= (注意 根据角的范围选择正负号)或者,解这些题目的最基本方法是解 关于sin,cos的方程组,解得sin,cos的值. 易错提醒:(1)平方关系最多使用一次,注意开方时正负 号的选取. (2)解方程组时,注意三角函数的符号,不要产生增解.,【变式训练】(2015广东高考)已知tan=2. (1)求 的值. (2)求 的值.,【解析】(1),【加固训练】 1.(2016郑州模拟)已知tan=2,则 的值为 ( ) 【解析】选B.由 ,分子分母同除以cos, 得,2.已知是第二象限的角,tan=- ,则cos = .,【解析】因为是第二象限的角, 所以sin0,cos0,由tan=- , 得cos=-2sin,代入sin2+cos2=1中, 得5sin2=1,所以 答案:-,3.已知 则tan= . 【解析】由 所以 tan=-2. 答案:-2,4.已知sin-cos= ,(0,) ,则tan = . 【解析】两边平方得cos2+sin2-2sincos=2, 所以sin 2=-1, 所以tan=-1. 答案:-1,考向二 诱导公式及应用 【典例2】(1)(2016黄冈模拟)设cos(-36)=k,那么tan2016= ( ),(2)(2016广州模拟)已知 那么cos = .,【解题导引】(1)先利用同角关系求出sin36的值,再利用诱导公式化简求解. (2)利用诱导公式化简求解.,【规范解答】(1)选A. sin36= 所以tan2016=tan(3605+216)=tan216 =tan(180+36)=tan36= (2) 答案:,【母题变式】1.若本例题(2)条件变为 求cos.,【解析】因为sin(+)= , 所以-sin= ,所以sin=- , 所以cos=,2.若本例题(2)条件不变,求tan. 【解析】由例题解析知cos= , 所以在第一、四象限. 当在第一象限时,sin= , 此时tan= 当在第四象限时,sin=- , 此时tan=,【规律方法】 1.求任意角的三角函数值的步骤 负角化正角,正角化锐角,最后求值. 2.化简三角函数式的基本思路 分析结构特点,选择恰当公式,观察角的关系,获得最简形式(项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求值).,【变式训练】已知sin(3+)= , 求 的值.,【解析】因为sin(3+)=-sin= , 所以sin=- . 原式=,【加固训练】 1.(2016福州模拟)已知sin10=a,则sin70等于 ( ) A.1-2a2 B.1+2a2 C.1-a2 D.a2-1,【解析】选A.由题意可知,sin70=cos20 =1-2sin210=1-2a2.,2.已知cos(+)=- ,且角在第四象限,计算: (1)sin(2-). (2) (nZ).,【解析】因为cos(+)=- , 所以-cos=- ,cos= . 又角在第四象限, 所以,(1)sin(2-)=sin2+(-) =sin(-)=-sin= .,考向三 同角关系和诱导公式的综合应用 【典例3】(2016兰州模拟)已知3cos2(+x)+ 5cos =1,求6sinx+4tan2x-3cos2(-x)的值.,【解题导引】将已知条件化简,求出sinx,cos2x,tan2x,而后代入化简后的所求式求解即可.,【规范解答】由已知得3cos2x+5sinx=1, 即3sin2x-5sinx-2=0,解得sinx=- (sinx=2舍去). 这时 故6sinx+4tan2x-3cos2(-x)=,【规律方法】三角函数的化简与求值问题的解题方法 (1)求值:给角求值:用诱导公式遵循“负化正,正化小,到锐角”的一般步骤求值;给值求值:先用诱导公式统一角,再用同角关系求值;给值求角:先确定要求的那个角的一个三角函数的单调区间,然后求这个角的三角函数值,最后根据三角函数图象或定义求角的值.,(2)化简的常用方法:弦切互化法:主要利用商数关系 tan= 进行弦化切,或切化弦,如 , asin2x+bsinxcosx+ccos2x的类型要弦化切;和、积 转化法:如利用(sin xcos x)2 =12sinxcosx的关系 变形、转化;巧用“1”的代换:1=sin2x+cos2x=tan .,【变式训练】(2016唐山模拟)已知为钝角, 则sin = ,cos = .,【解析】 因为为钝角,所以 所以 所以 答案:-,【加固训练】1.(2016潍坊模拟)若 则tan= ( ),【解析】选B.若 则cos2-sin2= (cos2+sin2), 所以 cos2- sin2-2sincos=0,即3tan2+20tan-7=0. 求得tan= ,或tan=-7(舍去).,2.(2016福州模拟)计算: = .,【解析】原式= 答案:-1,
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