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第四节 变量间的相关关系与统计案例,【知识梳理】 1.相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类 正相关:从散点图上看,点散布在从_到_ 的区域内; 负相关:从散点图上看,点散布在从_到_ 的区域内.,左下角,右上角,左上角,右下角,(2)线性相关关系:从散点图上看,如果这些点从整体上 看大致分布在_附近,则称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做_. (3)回归方程 最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的_ _最小的方法叫做最小二乘法.,一条直线,回归直线,距离,的平方和,回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据: (x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归方程为 则 其中, 是回归方程的_, 是在y轴上的_.,斜率,截距,(4)样本相关系数 用它来衡量两个变量间的线性相关关系. 当r0时,表明两个变量_;,正相关,当r0.75时,认为两个 变量有很强的线性相关关系.,负相关,越强,2.独立性检验 (1)22列联表:假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称22列联表)为:,a+b,b+d,(2)K2统计量 K2= (其中n=a+b+c+d为样本 容量).,【特别提醒】 回归分析的关注点 (1)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实 质上回归直线必过( )点,可能所有的样本数据点 都不在直线上. (2)利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准 确值,而实质上是预测值(期望值).,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修3P90例改编)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如下表:,则y对x的线性回归直线方程为 ( ) A. =2.3x-0.7 B. =2.3x+0.7 C. =0.7x-2.3 D. =0.7x+2.3 (相关公式: ),【解析】选C.因为 =62+83+105+126=158, 所以 =4-0.79=-2.3. 故线性回归直线方程为 =0.7x-2.3.,2.(选修2-3P97习题3.2T1改编)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下22列联表:,已知P(K23.841)0.05,P(K25.024)0.025. 根据表中数据,得到K2的观测值 k= 4.844.则认为选修文科与性别 有关系出错的可能性为_.,【解析】K2的观测值k4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为5%. 答案:5%,感悟考题 试一试 3.(2016太原模拟)某商品销售量y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归直线方程可能是 ( ) A. =-10x+200 B. =10x+200 C. =-10x-200 D. =10x-200,【解析】选A.因为商品销售量y(件)与销售价格 x(元/件)负相关, 所以 0,所以应选A.,4.(2015福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:,根据上表可得回归直线方程 ,其中 =0.76, .据此估计,该社区一户年收入为15万元的家 庭的年支出为 ( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元,【解析】选B.由题意得 所以 =8-0.7610=0.4,所以 =0.76x+0.4, 把x=15代入得到 =11.8.,5.(2016武汉模拟)为考察某种药物预防疾病的效果,对100只某种动物进行试验,得到如下的列联表:,经计算,统计量K2的观测值k4.762,则在犯错误的概率不超过_的前提下认为药物有效,已知独立性检验中统计量K2的临界值参考表为: ( ) A.0.005 B.0.05 C.0.010 D.0.025,【解析】选B.由题意算得,K24.7623.841,参照附表,可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为药物有效.,考向一 相关关系的判断 【典例1】(1)(2016泉州模拟)下列四个图象中,两个变量具有正相关关系的是 ( ),(2)(2016汕头模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:,y与x负相关且 =2.347x-6.423; y与x负相关且 =-3.476x+5.648; y与x正相关且 =5.437x+8.493; y与x正相关且 =-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A. B. C. D.,【解题导引】(1)观察两个变量的散点图,若样本点呈直线形带状分布,则两个变量具有相关关系,带状越细说明相关关系越强,可得到两个变量具有相关关系的图. (2)根据回归直线方程的系数的符号进行判断.,【规范解答】(1)选D.A中两个变量之间是函数关系,不是相关关系;在两个变量的散点图中,若样本点呈直线形带状分布,则两个变量具有相关关系, 对照图形:B,D样本点呈直线形带状分布,B是负相关,D是正相关,C样本点不呈直线形带状分布. 所以两个变量具有正相关关系的图是D. (2)选D.正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正确的为.,【规律方法】 1.散点图法判断相关关系 根据点的分布情况及正相关、负相关的概念判断.,2.线性相关关系与函数关系的区别 (1)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如,正方体体积V与棱长x之间的关系V=x3就是函数关系. (2)相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如,商品的销售额与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.,【变式训练】(2016长沙模拟)某公司在2015年上半年的收入x(单位:万元)与月支出y(单位:万元)的统计资料如表所示:,根据统计资料,则 ( ) A.月收入的中位数是15,x与y有正线性相关关系 B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系 C.月收入的中位数是16,x与y有正线性相关关系 D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系,【解析】选C.月收入的中位数是 =16,收入增加, 支出增加,故x与y有正线性相关关系.,【加固训练】 1.(2016顺德模拟)观察下列散点图,则正相关; 负相关;不相关,它们的排列顺序与图形相对应 的是 ( ) A.a,b-,c- B.a-,b-,c- C.a-,b-,c- D.a-,b-,c-,【解析】选D.变量的相关性的图形表示法,在相关变量中,图a从左下角到右上角是正相关,图c从左上角到右下角是负相关,图b的点分布不规则是不相关.,2.给出下列关系: 正方形的边长与面积之间的关系; 某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系; 人的身高与视力之间的关系; 雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系; 学生与其学号之间的关系. 其中具有相关关系的是_.,【解析】正方形的边长与面积之间的关系是函数关 系;化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严 格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系;人 的身高与视力之间的关系既不是函数关系,也不是相关 关系;能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系;,学生与其学号之间的关系是一种确定的对应关系.综合以上可知,具有相关关系,而是确定性的函数关系. 答案:,3.(2016渭南模拟)某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg):,(1)画出散点图. (2)判断是否具有相关关系.,【解析】(1)散点图如图所示: (2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.,考向二 独立性检验 【典例2】(2016洛阳模拟)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.),(1)根据以上数据完成下列22列联表.,(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其 亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析. 附:K2=,【解题导引】(1)把握22列联表的意义,准确填入数据. (2)将数据代入随机变量K2的计算公式进行计算,与临界值比较并得出结论.,【规范解答】(1)22列联表如下:,(2)因为K2的观测值k= =106.635, 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 其亲属的饮食习惯与年龄有关.,【母题变式】 1.若本例中条件不变,能否说有99%的亲属的饮食习惯与年龄有关?,【解析】这种说法不正确.能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,是这个论断成立的可能性大小的结论,与是否有“99%的亲属的饮食习惯与年龄有关”无关.,2.若本例中条件不变,求认为其亲属的饮食习惯与年龄 有关出错的可能性为多少. 【解析】因为K2的观测值k= =106.635, 所以认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性 为1%.,【规律方法】解决独立性检验问题的一般步骤 (1)根据样本数据制成22列联表. (2)根据公式K2= 计算K2的值. (3)查表比较K2与临界值的大小关系,作统计判断. 易错提醒:应用独立性检验方法解决问题,易出现不能 准确计算K2值的错误.,【变式训练】(2016常德模拟)在研究打鼾与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是 ( ),A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾 B.1个人患心脏病,则这个人有99%的概率打鼾 C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人 D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有,【解析】选D.这是独立性检验,犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”.这只是一个概率,即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义答案应选D.,【加固训练】 (2016梧州模拟)下面是一个22列联表,则表中a,b处的值分别为 ( ) A.94,96 B.52,54 C.52,50 D.54,52,【解析】选B.根据表格中的数据可知,2+a=b,b+46=100,解得b=54,a=52.,考向三 回归分析 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:线性回归方程的应用 【典例3】(2016武汉模拟)某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格: 其中i=1,2,3,4,5,6,7.,(1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图.,(2)求回归直线方程.(结果保留到小数点后两位) (3)预测进店人数为80人时,商品销售的件数.(结果保留整数),【解题导引】利用公式求出 , 的值,再将进店人数 80代入回归方程估计商品销售的件数.,【规范解答】(1)散点图如图所示.,(3)进店人数为80人时,商品销售的件数y=0.7880-4.0758件.,命题方向2:非线性回归模型的应用 【典例4】(2016安庆模拟)在彩色显像中,由经验知: 形成染料的光学密度y与析出银的光学密度x由公式y= (b0)表示.现测得实验数据如下:,试求y对x的回归方程.,【解题导引】将公式y= 两边取自然对数,得lny=lnA+ 则取u= v=lny,a=lnA,可得v=a+bu, 再用最小二乘法求a,b.,【规范解答】将题目所给的公式y= 两边取自然对 数,得lny=lnA+ 与线性回归直线方程相对照,只要取u= v=lny, a=lnA,就有v=a+bu,可得 则 这就是y对x的回归曲线方程.,【技法感悟】 1.线性回归问题的求解思路 (1)作出散点图,判断是否线性相关. (2)如果是,则用公式求 ,写出回归方程. (3)根据方程进行估计.,2.非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据(x,y)作出散点图. (2)根据散点图选择恰当的拟合函数. (3)作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程. (4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.,3.常见曲线方程的变换公式,【题组通关】 1.(2016长沙模拟)设某大学的女生体重y(单位:kg) 与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数 据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方 程为 =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ),A.y与x具有正线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( ) C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必 为58.79kg,【解析】选D.x的系数大于零正相关,故A正确;由回归 直线方程的计算公式 可知直线必过样本点的 中心( ),故B正确;由一次函数的单调性知,x每增加 1cm,体重约增加0.85kg,是估计变量,故C正确;体重应 约为58.79kg,是估计变量,故D错误.,2.(2016揭阳模拟)下表是某厂14月份用水量(单位: 百吨)的一组数据, 由其散点图知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关 关系,其线性回归方程是 =-0.7x+ ,则 =_.,【解析】 所以 =3.5-(-0.7)2.5=5.25. 答案:5.25,3.(2016太原模拟)从某居民区随机抽取10个家庭,获 得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位: 千元)的数据资料,算得,(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程 (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关. (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.,【解析】(1)由题意知n=10, 又 =720-1082=80, =184-1082=24,由此得 故所求线性回归方程为 =0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.30),故x与y之间是正相关.,(3)将x=7代入回归方程, 得 =0.37-0.4=1.7(千元). 所以可预测该家庭的月储蓄为1.7千元.,【加固训练】 (2016西安模拟)某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm,因儿子身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.,【解析】由题设知,设解释变量为x,预报变量为y,它们的对应值如下表,于是有 =176-1731=3,得回归方程为 =x+3. 所以当x=182时, =185. 答案:185,
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