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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,【知识梳理】 1.命题的定义 用语言、符号或式子表达的,可以_的陈述句 叫做命题.其中_的语句叫做真命题,_ 的语句叫做假命题.,判断真假,判断为真,判断为假,2.四种命题 (1)四种命题及其相互关系:,(2)互为逆否命题的真假判断: 互为逆否的两个命题同_或同_.,真,假,3.充分条件与必要条件的判断,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,【特别提醒】 1.充分条件、必要条件与集合的关系,2.互为逆否命题关系的运用 p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P10练习T3(2)改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.,2.(选修2-1P8习题1.1A组T2(1)改编)命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题为 .,【解析】“a,b都是奇数”的否定为“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数,感悟考题 试一试 3.(2015湖南高考)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.由题意得,AB=AAB,反之,AB AB=A,故为充要条件.,4.(2015浙江高考)设a,b是实数,则“a+b0”是“ab0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选D.当a=3,b=-1时,a+b0,但ab0,但a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件.,5.(2016焦作模拟)已知命题:如果x3,那么x5; 命题:如果x3,那么x5;命题:如果x5,那么 x3.关于这三个命题之间的关系.下列三种说法正确 的是 ( ) 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆 命题;,命题是命题的逆命题,且命题是命题的否命题; 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆否命题. A. B. C. D.,【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故正确,错误,正确.,考向一 四种命题及其关系 【典例1】(1)(2015山东高考)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0,(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是 ( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,【解题导引】(1)原命题的逆否命题书写格式是否定结论当条件,否定条件当结论. (2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.,【规范解答】(1)选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m0”的否定是“m0”,故命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”.,(2)选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为假,如:z1=1+2i,z2=2+i,显然|z1|=|z2|,但z1与z2显然不共轭,所以它的否命题亦为假.,【母题变式】1.写出本例题(1)的否命题. 【解析】原命题的否命题是“若m0,则方程x2+x-m=0没有实根”.,2.若本例题(1)的条件变为:“若m0”,其他条件不变,试判断其逆命题的真假.,【解析】条件改变后,其逆命题为:“若方程x2+x-m=0 有实根,则m0”. 因为若方程x2+x-m=0有实根,则=1+4m0, 所以m- . 即当方程有实根时,m也可能大于0,故其逆命题为假.,【规律方法】 1.一些常见词语及其否定,2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.,【变式训练】给定下列命题: 反比例函数y= (k0)的图象是双曲线且位于第二、 四象限; 若x+y8,则x2或y6; “矩形的对角线相等”的逆命题;,“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是 .,【解析】由反比例函数的性质可知命题正确;命题的逆否命题是“若x=2且y=6,则x+y=8”,其显然正确,所以命题正确;“对角线相等的四边形是矩形”显然是假命题,即命题不正确;因为“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的逆命题显然正确,由互为逆否命题的等价性知正确. 答案:,【加固训练】 1.命题“若= ,则tan=1”的逆否命题是( ) A.若 ,则tan1 B.若= ,则tan1 C.若tan1,则 D.若tan1,则=,【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tan1, 则 ”.,2.(2016宜宾模拟)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题: p1:数列an是递增数列; p2:数列nan是递增数列; p3:数列 是递增数列;,p4:数列an+3nd是递增数列. 其中的真命题为 ( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4,【解析】选D.由题意知p1显然正确;p2是假命题,例如, 当an=n-4时,数列nan中第一、二、三项分别为-3, -4,-3,显然它不是递增数列;p3是假命题,例如,当an=n 时, =1,即 是常数列;对于p4:因为an+1+3(n+1)d -(an+3nd)=d+3d=4d0,所以p4是真命题.,考向二 充分条件、必要条件的判断 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:用定义法判断充分条件、必要条件 【典例2】(2015陕西高考)“sin=cos”是 “cos 2=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题导引】结合二倍角的余弦公式进行判断或先表示出角,再判断.,【规范解答】选A.方法一:由cos2=0得 cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)=0, 得sin=cos或sin=-cos. 所以sin=coscos 2=0, 即“sin=cos”是“cos2=0”的充分不必要条件.,方法二:由sin=cos,得 即- =k,kZ,=k+ ,kZ. 而由cos 2=0,得2=k+ ,kZ,= kZ. 所以sin=coscos2=0,即“sin=cos” 是“cos2=0”的充分不必要条件.,命题方向2:用集合法判断充分条件、必要条件 【典例3】(2015安徽高考)设p:11,则p是q成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题导引】利用集合法结合充分、必要条件的定义及指数不等式的求解进行判断. 【规范解答】选A.由2x20x0,且x|10可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.,命题方向3:用等价转化法判断充分条件、必要条件 【典例4】(2016银川模拟)给定两个命题p,q.若p是q的必要而不充分条件,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题导引】利用原命题与逆否命题等价进行判断. 【规范解答】选A.因为p是q的必要不充分条件,则 qp但p q,其逆否命题为pq但q p,所以p是 q的充分不必要条件.,【技法感悟】 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据pq,qp进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.,(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.,【题组通关】 1.(2016肇庆模拟)设条件p:a0;条件q:a2+a0,那么p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,【解析】选A.因为a2+a0, 所以a0,a-1, 可判断:若p:a0;则条件q:a2+a0成立. 可判断:p是q的充分不必要条件.,2.(2015湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则 ( ) A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件,【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.,3.(2014全国卷)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则 ( ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件,【解析】选C.因为若f(x0)=0,则x=x0不一定是极值点,所以命题p不是q的充分条件; 因为若x=x0是极值点,则f(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.,4.(2014湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在 集合C使得AC,B C”是“AB=”的 ( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件,【解析】选C.依题意,若AC,则 C A,当B C时, 可得AB=;若AB=,不妨令C=A,显然满足AC,B C,故满足条件的集合C是存在的.,考向三 充分条件、必要条件的应用 【典例5】(1)使不等式x2-3x3,(2)已知p:|4-x|6,q:x2-2x+1-m2 0(m0),且p是q的必要而不充 分条件,则实数m的取值范围是 .,【解题导引】(1)先解不等式,再由题意对比选取. (2)先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q间的关系列出关于m的不等式或不等式组求解.,【规范解答】(1)选A.解不等式x2-3x0, 得1-mx1+m,则q:Q=x|1-mx1+m,m0. 由p:|4-x|6, 解得-2x10, 则p:P=x|-2x10. 因为p是q的充分而不必要条件,则P Q,所以 即m9或m9.故m9. 答案:m9,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 则q:A=x|x1+m或x0. 由p:|4-x|6, 得-2x10,则p:B=x|x10或x9. 故m9.,【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题意理解不清,混淆了谁是谁的充分而不必要条件,而误选C.,【规律方法】 1.与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法 根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解,要注意区间端点值的检验.,2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种设置格式.,(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA. (2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB. 易错提醒:在对充分性与必要性分别进行证明的题中,需要分清命题的条件和结论.,【变式训练】已知a+b0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1. 【证明】先证充分性:若a+b=1,则b=1-a, 所以a2+b2-a-b+2ab=a2+(1-a)2-a-(1-a)+2a(1-a) =a2+1-2a+a2-a-1+a+2a-2a2=0. 即a2+b2-a-b+2ab=0,充分性得证,再证必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0, 即(a+b)2-(a+b)=0, (a+b-1)(a+b)=0, 因为a+b0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,必要性得证, 综上可得,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.,【加固训练】 1.函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A.a1,【解析】选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x) 有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函 数y=2x(x0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得 a0或a1.观察选项,根据集合间关系a|a1,故选A.,2.若“x21”是“x1得x1或x1或x-1, 所以a-1,从而a的最大值为-1. 答案:-1,
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