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第三课时 导数的综合应用,考向一 利用导数研究函数的零点或方程的根 【典例1】(2015全国卷)已知函数 f(x)= g(x)=-lnx. (1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线. (2)用minm,n表示m，n中的最小值，设函数h(x)= minf(x),g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数.,【解题导引】(1)利用导数的几何意义,设切点为(x0,0),利用f(x0)=0,f(x0)=0列出方程组求解. (2)首先理解minm,n表示m,n中的最小值,然后按x(1,+),x=1,x(0,1)进行分类讨论,确定h(x)零点的个数.,【规范解答】(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点 (x0,0)，则f(x0)=0，f(x0)=0，即 解得 因此，当 时，x轴为曲线y=f(x)的切线.,(2)当x(1,+)时，g(x)=-ln x0, 从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0, 故h(x)在(1,+)上无零点. 当x=1时，若 则f(1)= 0, h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点；,若 则f(1)0. 所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.,(i)若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)上无零点, 故f(x)在(0,1)上单调. 而 所以当a-3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a0 时，f(x)在(0,1)上没有零点.,(ii)若-3a0,则f(x)在 上单调递减， 在 上单调递增，故在(0,1)中，当 时， f(x)取得最小值，最小值为 若 即 f(x)在(0,1)上没有零点； 若 即 则f(x)在(0,1)上有唯一零点；, 即 由于 所以当 时，f(x)在(0,1)上有两个零点； 当 时，f(x)在(0,1)上有一个零点. 综上，当 时，h(x)有一个零点；,当 时，h(x)有两个零点； 当 时，h(x)有三个零点.,【规律方法】利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置. (3)通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.,【变式训练】(2015北京高考)设函数f(x)= k0. (1)求f(x)的单调区间和极值. (2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间 上仅有一 个零点.,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+)，f(x)= 因为k0，所以令f(x)=0得 列表如下：,减区间为 增区间为 当x= 时，取得极小值 (2)当 1,即0k1时，f(x)在 上单调递增， f(1)= 所以f(x)在区间 上没有零点.,当 即1ke时，f(x)在 上递减， 在 上递增， 此时函数没有零点. 当 即ke时，f(x)在 上单调递减，,所以f(x)在区间 上仅 有一个零点. 综上，若f(x)有零点，则f(x)在区间 上仅有一个 零点.,【加固训练】 1.已知函数f(x)= (xR，其中a0). 若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点，则 a的取 值范围是( ),【解析】选A.f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a). 由f(x)=0,得x=-1或a(a0). 当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如表:,故函数f(x)的单调递增区间是(-，-1)，(a，+)； 单调递减区间是(-1，a). 可知函数f(x)在区间(-2，-1)内单调递增；在区间 (-1,0)内单调递减. 从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点，,当且仅当 解得 所以a的取值范围是,2.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx的图象与直线y=b有两个不同的交点,则b的取值范围是 .,【解析】设g(x)=f(x)-b=x2+xsinx+cosx-b. 令g(x)=f(x)-0=x(2+cosx)=0,得x=0. 当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如表:,所以函数g(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,且g(x)的最小值为g(0)=1-b. 当1-b0时,即b1时,g(x)=0至多有一个实根, 曲线y=f(x)与y=b最多有一个交点,不合题意. 当1-b1时,有g(0)=1-b4b-2b-1-b0.,所以y=g(x)在(0,2b)内存在零点. 又y=g(x)在R上是偶函数,且g(x)在(0,+)上单调递增, 所以y=g(x)在(0,+)上有唯一零点,在(-,0)也有唯一零点. 故当b1时,y=g(x)在R上有两个零点, 则曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点.,综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+). 答案:(1,+),3.已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在区间 上无零点，求a的最小值.,【解析】(1)当a=1时，f(x)=x-1-2ln x， 则f(x)= 定义域x(0，+). 由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2， 故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为 (2，+).,(2)f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x， 令m(x)=(2-a)(x-1)，x0；h(x)=2ln x，x0， 则f(x)=m(x)-h(x). 当a2时，m(x)在 上为增函数，h(x)在 上为增函数，,若f(x)在 上无零点，则 即 所以a2-4ln 2， 所以2-4ln 2a2.,当a2时，在 上m(x)0，h(x)0， 所以f(x)0，所以f(x)在 上无零点. 由得a2-4ln 2，所以amin=2-4ln 2.,4.(2014全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a. (2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,【解析】(1)因为f(x)=x3-3x2+ax+2， 所以f(x)=3x2-6x+a，f(0)=a， 设切点A(0,2)，切线与x轴交点为B(-2,0), 则kAB=f(0),即 所以a=1.,(2)当k1时，令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0. 则 令 则g(x)= 令h(x)=2x3-3x2-4，则h(x)=6x2-6x=6x(x-1), 所以当x(0,1)时，h(x)0,h(x)递减.,当x(-，0)或(1，+)时，h(x)0,h(x)递增；且h(0)2时，h(x)0,g(x)0,g(x)在(2，+)上递增；,所以当x(0,2)(2，+)时，g(x)g(2)=1， 当x(-，0)时，单调递减，且g(x)(-,+).,所以当k1时，g(x)=k仅有一个根,图象如图所示, 所以当k1时，y=f(x)与y=kx-2仅有一个交点.,考向二 利用导数研究不等式的有关问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1：证明不等式 【典例2】(2016唐山模拟)已知f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函数f(x)的最大值. (2)设g(x)= x-1，且x0，证明：g(x)1.,【解题导引】(1)先求导,然后结合函数的单调性求 最值. (2)构造函数h(x)=f(x)-x,结合函数的单调性证明. 【规范解答】(1)f(x)=-xex. 当x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减. 所以f(x)的最大值为f(0)=0.,(2)由(1)知,当x0时,f(x)x. 设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1. 当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1, 从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.,当-1h(0)=0,即g(x)1. 综上,总有g(x)1.,命题方向2：不等式恒成立问题 【典例3】(2015北京高考)已知函数f(x)= (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程. (2)求证：当x(0,1)时，f(x) (3)设实数k使得f(x) 对x(0,1)恒成立， 求k的最大值.,【解题导引】(1)求出切点(0,f(0)，导数f(0)， 代入得到切线方程. (2)构造函数F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)- 证明最 小值大于0. (3)构造函数t(x)= x(0,1)，求导, 讨论k的取值情况从而确定k的最大值.,【规范解答】(1)f(x)= x(-1,1),f(x)= f(0)=2,f(0)=0，所以切线方程为y=2x. (2)原命题等价于任意x(0,1), 设函数F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)- F(x)=,当x(0,1)时，F(x)0，函数F(x)在x(0,1)上是 单调递增函数.F(x)F(0)=0， 因此任意x(0,1),f(x) (3) x(0,1)t(x)= x(0,1).,当k0,2，t(x)0，函数t(x)单调递增， t(x)t(0)=0显然成立. 当k2时，令t(x0)=0得 (0,1)， t(x)的变化情况列表如下：,t(x0)t(0)=0,显然不成立. 当k0时,显然k取不到最大值. 综上可知,k的最大值为2.,【技法感悟】 1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).,2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围. (2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,【题组通关】 1.(2016贵阳模拟)若关于x的不等式x3-3x2-9x+2m对任意x-2,2恒成立,则m的取值范围是 ( ) A.(-,7 B.(-,-20 C.(-,0 D.-12,7,【解析】选B.令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f(x)=3x2-6x-9,令f(x)=0,得x=-1或3(舍去). 因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20. 所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m-20.,2.(2016石家庄模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(xR),若对于任意x-1,1,都有f(x)0成立,则实数a的值为 .,【解析】若x=0，则不论a取何值，f(x)0显然成立. 当x0，即x(0,1时，f(x)=ax3-3x+10， 可化为 设g(x)= 则g(x)= 所以g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调 递减，,因此g(x)max= 从而a4. 当x0，即x-1,0时，同理， g(x)在区间-1,0上单调递增， 所以g(x)min=g(-1)=4，从而a4，综上，可知a=4. 答案：4,3.(2016长沙模拟)已知f(x)=xln x，g(x)=-x2+ax-3. (1)对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a的取值范围. (2)证明：对一切x(0，+)， 恒成立.,【解析】(1)由题意知2xln x-x2+ax-3对一切 x(0，+)恒成立， 则 设h(x)= 则h(x)= 当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减.,当x(1，+)时，h(x)0，h(x)单调递增， 所以h(x)min=h(1)=4，对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立， 所以ah(x)min=4,即实数a的取值范围是(-，4.,(2)问题等价于证明 (x(0，+). 又f(x)=xln x，f(x)=ln x+1， 当x 时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以,设m(x)= (x(0，+)，则m(x)= 易知m(x)max=m(1)= 从而对一切x(0，+)， 恒成立.,考向三 利用导数研究生活中的优化问题 【典例4】(2016黄冈模拟)某企业拟建造如图所示的 容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为 圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的 体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面 积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半 球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建 造费用为y千元.,(1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.,【解题导引】(1)该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的,利用公式求出每部分的表面积. (2)利用导数求出函数的最值.,【规范解答】(1)因为容器的体积为 立方米， 所以 解得 所以圆柱的侧面积为 2rl= 两端两个半球的表面积之和为4r2,所以y=f(r)= 又 所以定义域为,(2)因为 所以令y0,得 令y0,得0r2， 当r 时,f(r)为增函数,当r(0,2)时,f(r)为 减函数, 所以当r=2, 时，该容器的建造费用最小为96 千元.,【母题变式】 1.若典例条件不变，试求该容器表面积的最小值. 【解析】因为容器的体积为 立方米， 所以 解得 所以圆柱的侧面积为,两端两个半球的表面积之和为4r2, 故该容器的表面积 则 令y=0，解得 易知当r= 米时， 表面积取得最小值，ymin= 平方米.,2.若由于场地的限制，使典例中该容器的半径要限制 在 范围内，则求容器建造费用的最小值.,【解析】由例题得 所以令y0,得 令y0,得0r2， 故当r 时，函数单调递减， 故当 时，,【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.,(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题,结合实际问题作答.,【变式训练】(2016孝感模拟)某商场销售某种商品 的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销 售价格x(单位：元/千克)满足关系式 其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时， 每日可售出该商品11千克.,(1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解析】(1)因为x=5时，y=11， 所以 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润,=2+10(x-3)(x-6)2,3x6. 从而，f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6) =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:,由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【加固训练】 1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 则 使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件,【解析】选C.因为y=-x2+81， 所以当x9时，y0； 当x(0,9)时，y0，所以函数 在(9，+)上单调递减，在(0,9)上单调递增， 所以x=9是函数的极大值点， 又因为函数在(0，+)上只有一个极大值点， 所以函数在x=9处取得最大值.,2.(2016吉林模拟)某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f(x)(单位:元/kg)与时间x(单位:天,x(0,8且xN+)的数据如表:,(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄 瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=ax+b,f(x)= ax2+bx+c,f(x)=abx,其中a0,并求出此函数.,(2)在日常生活中，黄瓜的价格除了与上市日期相关， 与供给量也密不可分.已知供给量h(x)= (xN+). 在供给量的限定下，黄瓜实际价格g(x)=f(x)h(x). 求黄瓜实际价格g(x)的最小值.,【解析】(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数,这与函数f(x)=ax+b,f(x)=abx,均具有单调性不符,所以,在a0的前提下,可选取二次函数f(x)=ax2+bx+c进行描述.,把表格提供的三对数据代入该解析式得到: 解得a=1，b=-12，c=40. 所以,黄瓜价格f(x)与上市时间x的函数关系是 f(x)=x2-12x+40,x(0,8且xN+.,(2)因为g(x)=f(x)h(x)， 所以g(x)= 所以g(x)= 令g(x)=0，所以9x2-77x+150=0，即(x-3)(9x-50) =0，所以x=3或 令g(x)0，所以 或x3.,又因为x(0,8，且xN+， 所以函数g(x)在区间(0,3)和 上是增函数. 同理函数g(x)在区间 上是减函数. 又xN+，且g(1)g(6)g(5)， 所以g(x)最小值=g(1)= 所以黄瓜价格的最小值约为 元/千克.,3.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,销售量q公斤与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.,(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式. (2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.,【解析】(1)设日销量 则 所以k=100e30， 所以日销量 所以 (2)当t=5时，,由y0得x26,由y0,得x26, 所以y在区间25,26上单调递增,在区间26,40上单调递减, 所以当x=26时,ymax=100e4, 即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.,
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