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第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合,【知识梳理】 1.集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性:_、_、_. (2)元素与集合的两种关系:属于,记为_,不属于,记为 _. (3)集合的三种表示方法:_、_、_.,确定性,无序性,互异性,列举法,描述法,图示法,(4)五个特定的集合:,N,N*或N+,Z,Q,R,2.集合间的基本关系,相同,AB,BA,AB或BA,A B或B A,任何集合,任何非,空集合,3.集合的基本运算,x|xA或,xB,x|xA,且xB,x|xU,且xA,【特别提醒】 1.集合的分类 集合按元素个数的多少分为有限集、无限集,有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示.,2.集合子集的个数 若集合A中有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1. 3.AB=ABA;AB=AAB.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P12习题1.1A组T5(2)改编)若集合A=xN| x ,a=2 ,则下面结论中正确的是 ( ) A.aA B.aA C.aA D.aA 【解析】选D.因为2 不是自然数,所以aA.,2.(必修1P12习题1.1A组T6改编)设集合A=x|x2-160,B=x|3x-78-2x,则AB= ( ) A.x|-4x4 B.x|-4x4 C.x|3x4 D.x|3x4 【解析】选C.因为A=x|-4x4,B=x|x3, 所以AB=x|3x4.,3.(必修1P12习题1.1B组T1改编)已知集合A=0,1,2,集合B满足AB=0,1,2,则集合B有 个. 【解析】由题意知BA,则集合B有8个. 答案:8,感悟考题 试一试 4.(2015福建高考)若集合M=x|-2x2,N=0,1,2,则MN等于 ( ) A.0 B.1 C.0,1,2 D.0,1 【解析】选D.因为集合N中的元素0M,1M,2M,所以MN=0,1.,5.(2015湖南高考)已知集合U=1,2,3,4,A=1,3, B=1,3,4,则A( B)= . 【解析】由题意, B=2,所以A( B)=1,2,3. 答案:1,2,3,6.(2015江苏高考)已知集合A=1,2,3,B=2,4,5,则集合AB中元素的个数为 . 【解析】因为A=1,2,3,B=2,4,5, 所以AB=1,2,3,4,5,共5个元素. 答案:5,考向一 集合的概念 【典例1】(1)(2016揭阳模拟)已知A=x|x=3k-1,kZ,则下列表示正确的是 ( ) A.-1A B.-11A C.3k2-1A D.-34A,(2)(2016宁德模拟)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则a+2b+5c等于 ( ) A.4 B.5 C.7 D.11,【解题导引】(1)判断元素x是不是A的元素,只需由x=3k-1解出k,而kZ时便说明xA,否则xA,从而按照这个方法判断每个选项的正误即可. (2)根据集合相等的条件,列出a,b,c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a,b,c的值后代入式子求值.,【规范解答】(1)选C.k=0时,x=-1, 所以-1A,所以A错误; 令-11=3k-1,k=- Z,所以-11A,所以B错误; 令-34=3k-1,k=-11,所以-34A,所以D错误. 因为kZ,所以k2N,则3k2-1A,所以C正确.,(2)选C.由a,b,c=0,1,2得,a,b,c的取值有以下情况: 当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件; 当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=1,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=0,c=1,此时满足条件. 综上得,a=2,b=0,c=1,代入a+2b+5c=7.,【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.,【变式训练】(2016银川模拟)若集合A=xR|ax2- 3x+2=0中只有一个元素,则a= ( ) A. B. C.0 D.0或,【解析】选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2- 3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a=0时,x= ,符合题意, 当a0时,由=(-3)2-8a=0得a= ,所以a的值为0或 .,【加固训练】 1.(2016洛阳模拟)已知集合A=1,2,4,则集合B=(x,y)|xA,yA中元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4), (2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.,2.已知集合A=x|x2-2x+a0,且1A,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,0 B.(-,1 C.1,+) D.0,+) 【解析】选B.若1A,则1-2+a0,解得a1. 因为1A,所以a1.故选B.,3.已知集合A=x2+x,4x,若0A,则x= . 【解析】由题意,得 或 解得x=-1. 答案:-1,考向二 集合间的关系 【典例2】(1)已知集合A=x|x2-2x-30,xN*,则集合A的真子集的个数为 ( ) A.7 B.8 C.15 D.16,(2)已知集合A= ,B=x2,x+y,0, 若A=B,则x+y= . (3)(2016襄阳模拟)已知集合A=x|-2x7, B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是 .,【解题导引】(1)先解不等式,确定集合A中元素的个数,再求解. (2)根据两个集合中元素的特点分类讨论求解. (3)分B=与B两种情况讨论求解.,【规范解答】(1)选A.A=x|-1x3,xN*=1,2,3, 其真子集有:,1,2,3,1,2,1,3,2,3,共7个. 或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).,(2)由题意,得A中必有零,又x0, 所以 =0,即y=1. 此时A=2x,0,1,B=x2,x+1,0, 因为A=B, 所以,即x=0或x=1, 由集合中元素的互异性知x=0不满足题意,故x=1, 所以x+y=2. 答案:2,(3)当B=时,满足BA, 此时有m+12m-1,即m2, 当B时,要使BA,则有 解得2m4. 综上可得m4. 答案:(-,4,【母题变式】 1.本例(3)中,是否存在实数m,使AB?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.,【解析】由AB,得 不等式组无解,故不存在实数m,使AB.,2.本例(3)中,若B=x|m+1x1-2m,A B,求实数 m的取值范围.,【解析】因为A=x|-2x7,A B, 所以 解得m-3, 又当m=-3时,B=x|-2x7=A, 不满足题意,所以m-3. 故实数m的取值范围为(-,-3).,【易错提醒】当题目中有条件BA时,易忽视B=而致错.,【规律方法】 1.确定集合子集个数的思路 (1)当集合中元素的个数不多于3个时,可通过逐一列出来确定. (2)当集合中元素的个数较多时,设其个数为n,可通过公式2n,2n-1求出其子集的个数和真子集的个数.,2.集合相等问题的求解思路 对于集合相等,首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.,3.根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系. (2)注意点:注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.注意区间端点的取舍.,【变式训练】(2016大连模拟)已知集合A=x|x2-ax +2=0,B=1,2,若AB,则实数a的取值范围是( ) A.3 B.-2 ,2 ,3 C.a|-2 a2 或a=3 D.a|a-2 或a=3,【解析】选C.若A是空集,则=(-a)2-80, 即-2 a2 . 若A=1,则 无解. 若A=2,则 无解.,若A=1,2,则 解得a=3. 综上所述,当AB时,a的取值范围为a|-2 a2 或a=3.,【加固训练】 1.(2016保定模拟)已知集合A=x|ax=1,B=x|x2-1=0,若AB,则a的取值构成的集合是 ( ) A.-1 B.1 C.-1,1 D.-1,0,1,【解析】选D.由题意,得B=-1,1, 因为AB,所以当A=时,a=0; 当A=-1时,a=-1;当A=1时,a=1. 又A中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是-1,0,1.,2.已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.A=x|x2-3x+2=0,xR=1,2, B=x|0x5,xN=1,2,3,4,由ACB, 方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合3,4的子集的个数,有22=4个.,方法二:C可能为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共4个.,3.已知集合A=x|x2-2015x-20160,B=x|x2016,即m2015. 答案:(2015,+),4.(2016郑州模拟)设A=1,4,2x,B=1,x2,若BA,则x= .,【解析】由BA,得x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾;当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾.综上所述,x=-2或x=0. 答案:0或-2,考向三 集合的运算 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求交集 【典例3】(2015全国卷)已知集合A=x|x=3n+2, nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中的元素个数 为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,【解题导引】根据集合A中元素的特点求解. 【规范解答】选D.集合A中的元素是由被3除余2的自然数构成的,由此可知B中的元素只有8和14满足,故选D.,命题方向2:求并集 【典例4】(2015陕西高考)设集合M=x|x2=x, N=x|lgx0,则MN= ( ) A.0,1 B.(0,1 C.0,1) D.(-,1 【解题导引】根据题意先求出集合M和集合N,再求MN即可.,【规范解答】选A. 集合M=0,1，集合N=x|0x1, MN=x|0x1， 所以MN=0,1.,【典例5】(2015安徽高考改编)设全集U=1,2,3, 4,5,6,A=1,2,B=2,3,4,则A( B)= . 【解题导引】应用集合的运算法则进行计算.,命题方向3:交、并、补的混合运算,【规范解答】因为 =1,5,6， 所以A( )=1. 答案：1,【技法感悟】 1.集合交集、并集的求解方法:先化简集合,再由交集、并集的定义求解. 2.集合交、并、补混合运算的求解方法:根据交、并、补的定义求解,有括号时,要先计算括号里面的,再按顺序求解.,【题组通关】 1.(2015广东高考)若集合M=-1,1,N=-2,1,0,则MN= ( ) A.0,-1 B.0 C.1 D.1,1 【解析】选C.MN=1.,2.(2015山东高考)已知集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0,则AB= ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 【解析】选C.A=x|2x4,B=x|1x3,故AB= x|2x3.,3.(2015天津高考)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合 A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合A( B)=( ) A.3 B.2,5 C.1,4,6 D.2,3,5,【解析】选B.A=2,3,5, B=2,5, 则A( B)=2,5.,4.(2015四川高考)设集合A=x|(x+1)(x-2)0,集合B=x|1x3,则AB= ( ) A.x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x3,【解析】选A.由(x+1)(x-2)0,得-1x2, 即A=x|-1x2,所以AB=x|-1x3.,
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