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第二节 直线与圆的位置关系,【知识梳理】 1.圆周角、圆心角、弦切角定理 (1)圆周角定理: 内容:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的_.,一半,推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角_;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也_. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_;90的圆 周角所对的弦是_.,相等,相等,直角,直径,(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它_的度数. (3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的_.,所对弧,圆周角,2.圆内接四边形及圆的切线的判定及性质定理,互补,内,角的对角,互补,内角的对角,垂直,垂直,切点,圆心,3.与圆有关的比例线段,【特别提醒】 1.圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系,从而证明三角形相似或全等. 2.利用圆内接四边形的判定和性质定理解决四点共圆问题时,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置.,3.利用相交弦定理、切割线定理解决与圆有关的比例线段的计算与证明问题时,要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用.,考向一 圆周角定理及圆内接四边形 【典例1】如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,点E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.,(1)证明:CA是ABC外接圆的直径. (2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.,【解题导引】(1)根据圆的性质及相似知识证得CBA=90,可得CA是ABC外接圆的直径. (2)连接CE,利用圆的性质,寻求过B,E,F,C四点的圆的直径长的平方与ABC外接圆的直径长的平方的比值,从而确立圆的面积之比.,【规范解答】(1)因为CD为ABC外接圆的切线, 所以DCB=A, 由题设知 故CDBAEF,所以DBC=EFA. 因为B,E,F,C四点共圆, 所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90, 所以CBA=90, 因此CA是ABC外接圆的直径.,(2)连接CE, 因为CBE=90, 所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC, 又BC2=DBBA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DBDA=3DB2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的 比值为 .,【规律方法】 1.圆周角定理常用的转化 (1)圆周角与圆周角之间的转化. (2)圆周角与圆心角之间的转化. (3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. (4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化.,2.证明四点共圆的常用方法 (1)四点到一定点的距离相等. (2)四边形的一组对角互补. (3)四边形的一个外角等于它的内对角. (4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.,【变式训练】(2016梧州模拟)如图,已知AB是O的直径,CD是O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作ADCD于点D,交O于点E. (1)证明:AOC=2ACD. (2)证明:ABCD=ACCE.,【证明】(1)连接BC, 因为CD是O的切线,C为切点, 所以ACD=ABC. 因为OB=OC,所以OCB=ABC. 又因为AOC=OCB+OBC, 所以AOC=2ACD.,(2)因为AB是O的直径,所以ACB=90. 又因为ADCD于点D,所以ADC=90. 因为CD是O的切线,C为切点,OC为半径, 所以OCCD, 所以OCAD,又因为OC=OA, 所以OAC=OCA=CAE=ECD,所以RtABCRtCED,所以 所以ABCD=ACCE.,【加固训练】 1.(2016河南八校模拟)已知AB为半圆O的直径, AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点 A作ADCD于点D,交半圆于点E,DE=1. (1)求证:AC平分BAD. (2)求BC的长.,【解析】(1)连接OC. 因为OA=OC,所以OAC=OCA. 因为CD为半圆的切线,所以OCCD. 因为ADCD,OCAD,所以OCA=CAD, 所以OAC=CAD,所以AC平分BAD.,(2)连接CE,由(1)得OAC=CAD, 所以BC=CE. 因为A,B,C,E四点共圆,所以CED=ABC. 因为AB是圆O的直径,所以ACB是直角, 所以RtCDERtACB, 所以 ,所以 ,所以BC=2.,2.(2014全国卷)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (1)证明:D=E. (2)设AD不是O的直径,AD的中点为M, 且MB=MC,证明:ADE为等边三角形.,【证明】(1)由题设知,A,B,C,D四点共圆,所以D= CBE,由已知得CBE=E,故D=E. (2)设BC的中点为N,连接MN,由MB=MC知MNBC,故O在直线MN上.,又AD不是O的直径,AD的中点为M,故OMAD, 所以ADBC,故A=CBE. 又CBE=E,故A=E, 由(1)知,D=E,所以ADE为等边三角形.,考向二 圆的切线性质与判定定理、弦切角定理 【典例2】(2015全国卷)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线. (2)若OA= CE,求ACB的大小.,【解题导引】(1)连接OE后证明OED是直角. (2)设出CE,AE的长度,在RtCAB中应用射影定理求出AE的长度,可得ACB的大小.,【规范解答】(1)连接AE,由已知得,AEBC,ACAB.,在RtABC中, 由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连接OE,则OBE=OEB. 又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90, 所以OED=90,所以DE是O的切线.,(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2 ,BE= ,由射 影定理可得,AE2=CEBE,所以x2= ,即x4+x2-12 =0.可得x= ,所以ACB=60.,【母题变式】1.在例题(1)的条件下,证明: CDEAOE. 【证明】由(1)知,DAO+DEO=180, 所以D,A,O,E四点共圆, 所以CDE=AOE, 又DC=DE,OA=OE,所以CDEAOE.,2.在(2)的条件下,求 的值. 【解析】由(2)知,ACB=60. 所以CAE=ABC=30, 所以CB=2CA=4CE,即 又O为AB的中点, 所以,【规律方法】 1.判定切线的三种常用方法 (1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线. (3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线.,2.弦切角问题的求解思路 转化为求同弧上的圆周角. 3.切线长问题的求解思路 一般利用切线长定理和切割线定理. 易错提醒:利用弦切角定理时,一定要注意弦切角与同弧上的圆周角相等.,【变式训练】(2015全国卷)如图,O是等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. (1)证明:EFBC. (2)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=2 , 求四边形EBCF的面积.,【解析】(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线,又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF,从而EFBC. (2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线, 又EF为O的弦,所以圆心O在AD上.,连接OE,OM,则OEAE. 由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.,因为AE=2 ,所以AO=4,OE=2. 因为OM=OE=2,DM= MN= ,所以OD=1. 于是AD=5,AB= 所以四边形EBCF的面积为,【加固训练】 1.如图,直线PB与圆O相切于点B,点D是弦AC上的点, PBA=DBA.若AD=m,AC=n,求AB的长度.,【解析】因为PB切O于点B, 所以PBA=ACB. 又PBA=DBA, 所以DBA=ACB, 又A是公共角, 所以ABDACB.,所以 所以AB2=ADAC=mn, 所以AB=,2.如图,AB,AC是O的切线,ADE是O的割线,求证: BECD=BDCE.,【证明】因为AB是O的切线, 所以ABD=AEB. 又因为BAD=EAB, 所以BADEAB. 所以,同理 因为AB,AC是O的切线, 所以AB=AC. 因此 即BECD=BDCE.,考向三 与圆有关的比例线段 【典例3】(2016南阳模拟)如图所示,已知PA与O 相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CDAP, AD,BC相交于点E,点F为CE上一点,且DE2=EFEC.,(1)求证:CEEB=EFEP. (2)若CEBE=32,DE=3,EF=2,求PA的长.,【解题导引】(1)由已知可得DEFCED,得到 EDF=C,由平行线的性质可得P=C,于是得 到EDF=P,再利用对顶角的性质即可证明EDF EPA.于是得到EAED=EFEP.利用相交弦定理 可得EAED=CEEB,进而证明结论.,(2)利用(1)的结论可得BP= ,再利用切割线定理可得PA2=PBPC,即可得出PA.,【规范解答】(1)因为DE2=EFEC,DEF=CED, 所以DEFCED,所以EDF=C. 又因为CDAP,所以P=C, 所以EDF=P,又因为DEF=PEA, 所以EDFEPA,所以 ,所以EAED=EFEP. 又因为EAED=CEEB, 所以CEEB=EFEP.,(2)因为DE2=EFEC,DE=3,EF=2, 所以32=2EC,所以CE= . 因为CEBE=32,所以BE=3. 由(1)可知:CEEB=EFEP, 所以 3=2EP,解得EP=,所以BP=EP-EB= 因为PA是O的切线,所以PA2=PBPC, 所以PA2= ,解得PA=,【规律方法】 1.与圆有关的比例线段解题思路 (1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理. (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理. (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.,2.应用相交弦定理时的注意点 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具,应用时要注意:(1)要熟记定理的等积式的结构特征.(2)当与定理相关的图形不完整时,要用辅助线补齐相应部分.,【变式训练】(2014全国卷)如图,点P是O外一点,PA是切线,点A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,点D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明: (1)BE=EC. (2)ADDE=2PB2.,【证明】(1)因为PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,PAD为等腰三角形. 连接AB,则PAB=DEB=,BCE=BAE=. 因为PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA= DEB+DBE,所以+=+DBE,所以=DBE, 即BCE=DBE,所以BE=EC.,(2)因为ADDE=BDDC,PA2=PBPC,PD=DC=PA,所以PA2=PBPC=PB2PA, 即PA=2PB, 所以ADDE=BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB2.,【加固训练】 1.(2015湖北高考改编)如图,PA是圆的切线,点A为 切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,求 的值.,【解析】设PB=1,因为BC=3PB,所以PC=4,又因为PA 是圆的切线,所以PAB=BCA,P=P, PA2=PBPC=4,PA=2, 所以PBAPAC,所以,2.(2016山西四校联考)如图所示,PA为圆O的切线,点 A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=10,PB=5,BAC的平分 线与BC和圆O分别交于点D和E. (1)求证: (2)求ADAE的值.,【解析】(1)因为PA为圆O的切线,所以PAB=ACP, 又P为公共角, 所以PABPCA,所以 (2)因为PA为圆O的切线,PC是过点O的割线, 所以PA2=PBPC,所以PC=20,BC=15,又因为CAB=90, 所以AC2+AB2=BC2=225, 又由(1)知 所以AC=6 ,AB=3 , 连接EC,则CAE=EAB,AEC=ABD, 所以ACEADB, 所以ADAE=ABAC=3 6 =90.,
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