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选修4-1 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质,【知识梳理】 1.平行线等分线段定理及其推论,相等,平分第三边,平分另一腰,2.平行线分线段成比例定理及其推论,所得的对应线,段成比例,所得的对应线,段成比例,3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的定义:对应角_,对应边_的 两个三角形叫做相似三角形.相似三角形_的比 值叫做相似比(或相似系数). (2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)_,所构成的三角形与原三角形_.,相等,成比例,对应边,相交,相似,(3)判定及性质,相等,成比例,相等,成比例,相等,成比例,成比例,相似比,相似比的平方,4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜边上的高是_ 的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的_.,两直角边在斜边上射影,比例中项,【特别提醒】 1.把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论交换之后,命题仍然成立. 2.应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误,可以根据相等的角去找.,考向一 平行线分线段成比例定理 【典例1】(2016太原模拟)如图,在梯 形ABCD中, ABCD,AB=4,CD=2.点E,F分 别为AD,BC上的点,且EF=3, EFAB,求 梯形ABFE与梯形EFCD的面积比.,【解题导引】利用平行线分线段成比例定理确定两个梯形的高之间的关系,再确定两梯形的面积比.,【规范解答】如图，延长AD，BC交于一点O， 作OHAB于点H.,所以 ，得x=2h1， ，得h1=h2. 所以S梯形ABFE= (3+4)h2= h2， S梯形EFCD= (2+3)h1= h1， 所以S梯形ABFES梯形EFCD=75.,【规律方法】平行线分线段成比例定理的作用及应用技巧 (1)作用:可以判定线段成比例; 当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比.,(2)应用技巧:利用定理来计算或证明时,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用. 在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一边的中点.,【变式训练】如图,在ABC中,DEBC,DFAC, AEAC=35,DE=6,求BF的长.,【解析】由DEBC,得 因为DE=6,所以BC=10, 又DFAC,所以 ,所以BF=4.,【加固训练】 1.如图,点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点, 且DCBE=32,求ADBF的值.,【解析】因为点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点,且DCBE=32,则利用相似比得到ADBF=52.,2.如图所示,在ABC中,AEEB=13,BDDC=21, AD与CE相交于点F,求 的值.,【解析】过点D作DGAB交EC于点G， 则 ，而 即 ，所以AE=DG， 从而有AF=DF，EF=FG=CG， 故,考向二 相似三角形的判定与性质 【典例2】(2016信阳模拟)如图,在ABC中,点D是BC边上的中点,且AD=AC,DEBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F. (1)求证:ABCFCD. (2)若SFCD=5,BC=10,求DE的长.,【解题导引】(1)利用BEC和ADC都是等腰三角形,从而底角分别相等证明. (2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出ABC的面积,再通过过点A作BC的垂线利用平行线分线段成比例求解.,【规范解答】(1)因为DEBC,点D是BC边上的中点, 所以EB=EC,所以B=ECD. 又AD=AC, 所以ADC=ACD, 所以ABCFCD.,(2)过点A作AMBC,垂足为点M, 因为ABCFCD,BC=2CD, 所以 又因为SFCD=5,所以SABC=20. 又SABC= BCAM= 10AM=20, 解得AM=4.,又DEAM,所以 因为DM= DC= , BM=BD+DM=5+ 所以 ,解得DE= .,【规律方法】 1.证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.,2.相似三角形的性质的应用 (1)可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等. 由相似三角形构造成比例线段时,可以利用等角所对的边对应成比例构造等式,避免边与边的对应出错.,(2)求解线段长度问题:充分利用所求线段与已知线段长度之间的关系,化归到相应三角形中,通过构造相似三角形求解.,【变式训练】(2016商丘模拟)如图,在ABC中, BCAC,点D在BC上,且DC=AC,ACB的平分线CF交AD于 点F,点E是AB的中点,连接EF. (1)求证:EFBC. (2)若四边形BDFE的面积为6, 求ABD的面积.,【解析】(1)因为CF平分ACB, 所以ACF=DCF. 又因为DC=AC,所以CF是ACD的中线, 所以点F是AD的中点. 因为点E是AB的中点, 所以EFBD,即EFBC.,(2)由(1)知,EFBD, 所以AEFABD, 所以 又因为AE= AB,SAEF=SABD-S四边形BDFE=SABD-6, 所以 ,所以SABD=8, 所以ABD的面积为8.,【加固训练】1.如图,在ABC中,点D为BC边的中点, 点E为AD上的一点,延长BE交AC于点F.若 ,求 的值.,【解析】如图,过点A作AGBC,交BF的延长线于点G. 则AGEDBE,AGFCBF, 因为 ,所以 所以,因为点D为BC的中点, 所以BC=2BD, 所以 所以 所以,2.(2016郑州模拟)如图,在正方形ABCD中,点P是BC上的点,且BP=3PC,点Q是CD的中点,求证:ADQQCP.,【证明】在正方形ABCD中, 因为Q是CD的中点, 所以 =2. 因为 =3,所以 =4. 又因为BC=2DQ,所以 =2.,在ADQ和QCP中, ,且D=C=90, 所以ADQQCP.,考向三 直角三角形中的射影定理 【典例3】如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,DFAC于点F,DEAB于点E,求证: (1)ABAC=BCAD. (2)AD3=BCCFBE.,【解题导引】(1)可以利用RtABC的面积的两种表示证明. (2)分别在RtADB,RtACD和RtBAC中利用射影定理后进行等量代换.,【规范解答】(1)在RtABC中,ADBC, 所以SABC= ABAC= BCAD. 所以ABAC=BCAD.,(2)在RtADB中,DEAB, 由射影定理可得BD2=BEAB, 同理CD2=CFAC, 所以BD2CD2=BEABCFAC. 又在RtBAC中,ADBC, 所以AD2=BDDC,所以AD4=BEABCFAC, 又ABAC=BCAD. 即AD3=BCCFBE.,【母题变式】1.本例中若AB=5,AD=4,求AC的长. 【解析】由AB=5,AD=4,得BD=3, 又AB2=BDBC,所以BC= 所以AC=,2.本例中若BDDC=12,试判断E,F的位置. 【解析】显然RtABCRtDBARtDAC, 根据相似三角形的性质,E,F也是BA,AC的三等分点, 即,【规律方法】射影定理的应用技巧 (1)要注意将“等积式”转化为相似三角形中的“比例式”或将“比例式”转化为“等积式”. (2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形,确定直角边与其射影,这是解直角三角形时常用的方法. (3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.,易错提醒:对于直角三角形,射影定理一定成立,但满足该结论的三角形不一定是直角三角形.,【变式训练】如图所示,AD,BE是ABC的两条高, DFAB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GFHF.,【证明】因为H+BAC=90, GBF+BAC=90, 所以H=GBF. 因为AFH=GFB=90, 所以AFHGFB, 所以,所以AFBF=GFHF. 因为在RtABD中,FDAB, 所以DF2=AFBF, 所以DF2=GFHF.,【加固训练】 1.如图,在ABC中,点D,F分别在AC,BC上,且ABAC, AFBC,BD=DC=FC=1,求AC.,【解析】在ABC中,设AC为x, 因为ABAC,AFBC,FC=1, 根据射影定理得:AC2=FCBC, 即BC=x2.,再由射影定理得: AF2=BFFC=(BC-FC)FC, 所以AF= 过点D作DEBC于点E, 因为BD=DC=1,所以BE=EC.,又因为AFBC,所以DEAF, 所以 所以DE= 在RtDEC中, 因为DE2+EC2=DC2,即 即 =1. 所以x= ,即AC= .,2.如图所示,在ABC中,CAB=90,ADBC于点D, BE是ABC的平分线,交AD于点F,求证:,【证明】因为BE是ABC的平分线， 所以 ， . 在RtABC中，由射影定理知， AB2=BDBC，即 .,由得 ， 由得,
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