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第二节 参 数 方 程,【知识梳理】 1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t的每 一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条 曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做_,简称_. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程F(x,y)=0叫做_方程.,参变数,参数,普通,2.参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程:主要利用两个方程相加、 减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通 方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),则得曲线 的参数方程,3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程,【特别提醒】 1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.,2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才 有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y) 到M0(x0,y0)的距离.,考向一 直线的参数方程与应用 【典例1】(2015陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线 l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为 =2 sin.,(1)写出C的直角坐标方程. (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.,【解题导引】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得. (2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.,【规范解答】 (1)由=2 sin,得2=2 sin, 从而有x2+y2=2 y,所以x2+(y- )2=3. (2)设P ,又C(0, ), 则|PC|= 故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时P点的坐标为(3,0).,【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为,点M(x,y)为l 上任意一点,则直线l的参数方程为 (t为参数).,(1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1, t2,则 (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别 为t1,t2,t3,则t3= (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0, t1t20.,【变式训练】(2016临汾模拟)已知直线l经过点 P(1,1),倾斜角= . (1)写出直线l的参数方程. (2)设直线l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求点P到A,B两点的距离之积.,【解析】(1)直线l的参数方程为 即,(2)把直线 代入x2+y2=4, 得 =4,即t2+( +1)t-2=0,故t1t2=-2, 则点P到A,B两点的距离之积为2.,【加固训练】 1.(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直 线l的参数方程 (t是参数),直线l与抛物线 y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.,【解析】把直线l:x+y=3代入抛物线y2=4x 并整理得x2-10x+9=0, 所以交点A(1,2),B(9,-6), 故|AB|=,2.(2015湖北高考改编)在直角坐标系xOy中,以O为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极 坐标方程为(sin-3cos)=0,曲线C的参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B两点,求|AB|的长.,【解析】由(sin -3cos )=0知,直线的方程是 y=3x，由曲线C的参数方程为 ( t为参数)， 消去参数得，y2-x2=4, 解方程组,得,考向二 圆的参数方程与应用 【典例2】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲 线C1: (t为参数,且t0),其中0,在 以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: =2sin,C3:=2 cos.,(1)求C2与C3交点的直角坐标. (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,【解题导引】(1)把曲线C2与C3的极坐标方程化为普通方程联立求得交点坐标. (2)把曲线C1的方程化为极坐标方程与曲线C2与C3联立可求得A,B的极坐标,进而可求|AB|的最大值.,【规范解答】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0, 曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和,(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0), 其中0. 因此点A的极坐标为(2sin,),点B的极坐标为 (2 cos,). 所以|AB|=|2sin-2 cos|= 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4.,【母题变式】 1.本例条件不变,若直线 (m为参数)与曲线 C1平行,求的值. 【解析】曲线C1为过原点的直线,直线的普通方程为 x-y-1=0,由两直线平行得tan=1,所以= .,2.本例条件不变,求直线x+y-1=0被C3:=2 cos 截得的弦长. 【解析】曲线C3的普通方程为 +y2=3,圆心到 直线的距离为 所以弦长为,【规律方法】利用圆的参数方程求最值的技巧 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系.,(2)求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题. 易错提醒:把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围导致出错.,【变式训练】(2016衡水模拟)已知直线l的参数方程 为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 =2sin-2cos. (1)求曲线C的参数方程. (2)当= 时,求直线l与曲线C交点的极坐标.,【解析】(1)由=2sin-2cos, 可得2=2sin-2cos. 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x, 标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2. 曲线C的极坐标方程化为参数方程为 (为参数).,(2)当= 时,直线l的方程为 化成普通方程为y=x+2. 由 解得 或 所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为 ,(2,).,【加固训练】 1.(2014福建高考)已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程为 (为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程. (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.,【解析】(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C的普通方程为x2+y2=16. (2)因为直线l与圆C有公共点, 故圆C的圆心到直线l的距离d= 4, 解得-2 a2 .,2.(2014全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐 标方程为=2cos, (1)求C的参数方程. (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.,【解析】(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数，0t).,(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心, 1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率 相同,tant= ,t= . 故点D的直角坐标为 ,即 .,考向三 椭圆的参数方程与应用 【典例3】在平面直角坐标系xOy中,若l: (t为 参数)过椭圆C: (为参数)的右顶点,求常数 a的值.,【解题导引】把椭圆的参数方程化为普通方程,找出右 顶点,代入直线的普通方程中,即可求出a的值. 【规范解答】直线l的普通方程是x-y-a=0,椭圆C的普 通方程是 =1,其右顶点为(3,0),代入直线方程 得a=3.,【规律方法】圆与椭圆的参数方程的异同点 (1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换,有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.,(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同,圆的参数方程中的参数是旋转角,椭圆的参数方程中的参数是离心角,只有椭圆上的点在坐标轴上时,离心角才等于圆心角.,【变式训练】(2014辽宁高考)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程. (2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点，在已知变换下 变为C上的点(x,y). 依题意得 由x12+y12=1得 即曲线C的方程为 故C的参数方程为 (t为参数).,(2)由 解得 或 不妨设P1(1,0),P2(0,2)， 则线段P1P2的中点坐标为 所求直线斜率为k= . 于是所求直线方程为y-1= 化为极坐标方程，并化简得,【加固训练】 已知直线l的参数方程为 曲线C的参数方程 为 设直线l与曲线C交于两点A,B. (1)求|AB|. (2)设P为曲线C上的一点,当ABP的面积取最大值时,求点P的坐标.,【解析】(1)由已知可得直线l的方程为x+2y=2, 曲线C的方程为 由 A(2,0),B(0,1),所以|AB|=,(2)设P(2cos ,sin ), 当sin(+ )=-1,即= 时d最大， 所以,
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