资源描述
导数的综合运用,题型一 导数与函数图象,点评：给定解析式求函数的图象是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点,(2015杭州质检)设函数f(x)x2sinx，则函数f(x)的图象可能为( ),对点训练,【解析】 因为f(x)(x)2sin(x)x2sinxf(x)，所以f(x)是奇函数又因为f(x)2xsinxx2cosx，所以f(0)0，排除A；且当x0，时，函数值为正实数，排除B；当x(，2)时，函数值为负实数，排除D，故选C.,例2 (2015沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1. 【思路】 (1)令f(x)0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性 (2)构造函数g(x)exx22ax1(xR)，注意到g(0)0，只需证明g(x)在(0，)上是增函数，可利用导数求解,题型二 导数与不等式,【解析】 (1)由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，) f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a),(2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R内单调递增 于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0) 又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,点评：利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧 求证不等式f(x)g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明于是通常构造函数F(x)f(x)g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式,对点训练,题型三 导数与方程,点评：讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决,对点训练,例4 (2015江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2),题型四 导数与最优化问题,(1)求V关于的函数表达式； (2)求的值，使体积V最大； (3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由,点评：生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案,对点训练,
展开阅读全文