资源描述
选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系,【知识梳理】 1.伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x, y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.,2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系: 在如图极坐标系中,点O是_,射线Ox是_,为 _(通常取逆时针方向),为_(表示极点O与 点M的距离),点M的极坐标是_.,极点,极轴,极角,极径,M(,),(2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M, 若设|OM|=(0),以Ox为始边,OM为终边的角为, 则点M可用有序数对_表示.,(,),3.直角坐标与极坐标的互化 (1)前提:把直角坐标系的原点作为极点, x轴正半轴作为极轴,且在两种坐标系中 取相同的长度单位.,(2)互化公式:设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,),则,4.直线的极坐标方程 (1)一般位置: 若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它的极坐标方程为:sin(-)=0sin(0-).,(2)特殊位置:,+,+,cos,sin,5.圆的极坐标方程 (1)一般位置: 若圆心为M(0,0),半径为r,则该圆的方程为: _.,2-20cos(-0)+02-r2=0,(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程: 圆心位于极点,半径为r:_. 圆心位于M(a,0),半径为a:_. 圆心位于M ,半径为a:_.,=r,=2acos,=2asin,【特别提醒】 1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y) 与变换后的点的坐标(x,y). 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化问题,要注意互化时要将极坐标方程作适当转化:,(1)若是和角,常用两角和与差的三角公式展开,化为可用公式形式. (2)为了出现公式形式,两边可以同乘以.,考向一 伸缩变换 【典例1】求双曲线C:x2- =1经过: 变换后所得曲线C的焦点坐标.,【解题导引】设出曲线C上任意点的坐标,利用点的坐标和变换把双曲线上的点的坐标表示出来,再代入双曲线方程可得变换后的曲线方程,进而可求焦点坐标.,【规范解答】设曲线C上任意一点P(x,y), 由上述可知,将 代入x2- =1,得 化简得 即 为曲线C的方程,可见仍是双曲线,则焦 点F1(-5,0),F2(5,0)为所求.,【规律方法】伸缩变换后的方程求法 平面上的曲线y=f(x)在变换: 的作用下 的变换方程的求法是将 代入y=f(x),得 整理之后得到y=h(x),即为所求变换之后的方程.,【变式训练】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2 变成直线2x-y=4,求满足图象变换的伸缩变换. 【解析】设变换为 代入第二个方程,得 2x-y=4,与x-2y=2比较系数得=1,=4,即 因此,经过变换 后,直线x-2y=2变成直线2x- y=4.,【加固训练】 1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换: (1)求点A 经过变换所得的点A的坐标. (2)点B经过变换得到点B ,求点B的坐标. (3)求直线l:y=6x经过变换后所得到的直线l的方程.,【解析】(1)设A(x,y), 由伸缩变换: 得到 由于点A的坐标为 于是x=3 =1,y= (-2)=-1, 所以A(1,-1)为所求.,(2)设B(x,y),由伸缩变换: 得到 由于点B的坐标为 于是x= (-3)=-1,y=2 =1, 所以B(-1,1)为所求.,(3)由伸缩变换: 得 代入直线l:y=6x,得到经过伸缩变换后的方程为y=x,因此直线l的方程为y=x.,2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,并求曲线的焦点 坐标.,【解析】设圆x2+y2=36上任一点为P(x,y),伸缩变换 后对应的点的坐标为P(x,y),则 所以4x2+9y2=36, 即 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆 其焦点坐标为( ,0).,考向二 极坐标与直角坐标的互化 【典例2】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直 线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程. (2)若直线C3的极坐标方程为= ,设C2与C3的 交点为M,N,求C2MN的面积.,【解题导引】(1)用公式 代入即可. (2)把C3的方程代入C2,所解得的两根之差即为MN的长度.,【规范解答】(1)因为x=cos,y=sin,所以C1 的极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为 2-2cos-4sin+4=0. (2)将= 代入2-2cos-4sin+4=0,得2- 3 +4=0,解得1=2 ,2= .故1-2= ,即 |MN|= .由于圆C2的半径为1,所以C2MN的面积为 .,【母题变式】 1.本例条件不变,求直线C1与C3的交点的极坐标. 【解析】联立两直线方程得 解得 所以交点的极坐标为,2.本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程. 【解析】因为点(,)与(-,)关于极点对称,所 以由C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0得 圆C2关于极点的对称圆方程是2+2cos+4sin +4=0.,【规律方法】直角坐标化为极坐标的关注点 (1)根据终边相同的角的意义,角的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(,)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个. 当限定0,0,2)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.,(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置),以便正确地求出角0,2)的值.,易错提醒:极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如cos,sin,2的形式,进行整体代换.其中对方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.,【变式训练】(2016唐山模拟)已知极坐标方程 C1:=10,C2:sin =6. (1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别 判断曲线的形状. (2)求C1,C2交点间的距离.,【解析】(1)由C1:=10,得2=100, 所以x2+y2=100, 所以C1是圆心为(0,0),半径等于10的圆. 由C2:sin =6,得 =6, 所以y- x=12,即 x-y+12=0, 所以C2表示一条直线.,(2)由于圆心(0,0)到直线 x-y+12=0的距离为d= 所以直线C2被圆截得的弦长等于2 =16.,【加固训练】 1.在极坐标系中,设曲线C1:=2sin与C2:=2cos的交点分别为A,B,求线段AB的垂直平分线的极坐标方程.,【解析】将曲线C1:=2sin,C2:=2cos的极坐标 方程化为直角坐标方程分别为C1:x2+(y-1)2=1,C2:(x- 1)2+y2=1,所以过两圆交点的直线为y=x,线段AB的中点 坐标为 ,因此线段AB的垂直平分线的方程为x+y- 1=0,化为极坐标方程为sin,2.(2015北京高考改编)在极坐标系中，求点 到直线(cos + sin )=6的距离. 【解析】点 可化为 ，即(1, ). 直线(cos + sin )=6可化为x+ y-6=0.由 点到直线的距离公式可得,考向三 极坐标方程的应用 【典例3】(2016石家庄模拟)在极坐标系Ox中,直线 C1的极坐标方程为sin=2,M是C1上任意一点,点P在 射线OM上,且满足|OP|OM|=4,记点P的轨迹为C2. (1)求曲线C2的极坐标方程. (2)求曲线C2上的点到直线cos 距离的最大值.,【解题导引】(1)设出M,P的极坐标,由|OP|OM|=4,即M,P的极径之积等于4得到两点的极坐标的关系,把M的极坐标用P的极坐标表示,代入直线C1的极坐标方程即可得到曲线C2的极坐标方程.,(2)化极坐标方程为普通方程,由点到直线的距离公式 求出圆心到直线的距离,与圆的半径作和可求曲线C2上 的点到直线cos 距离的最大值.,【规范解答】(1)设P(1,),M(2,), 由|OP|OM|=4,得12=4,即2= . 因为M是C1上任意一点,所以2sin=2,即 sin=2, 1=2sin. 所以曲线C2的极坐标方程为=2sin.,(2)由=2sin,得2=2sin,即x2+y2-2y=0, 化为标准方程为x2+(y-1)2=1, 则曲线C2的圆心坐标为(0,1),半径为1, 由直线cos 得:coscos -sinsin = , 即x-y=2,圆心(0,1)到直线x-y=2的距离为 所以曲线C2上的点到直线cos 距离的最 大值为1+ .,【规律方法】极坐标方程问题的处理思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解,然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程.熟练掌握互换公式是解决问题的关键.,【变式训练】(2016信阳模拟)已知圆O1和圆O2的 极坐标方程分别为=2,2-2 cos =2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.,【解析】(1)由=2知2=4,所以圆O1的直角坐标方 程为 x2+y2=4. 因为 所以 所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.,(2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为x+y=1. 化为极坐标方程为cos+sin=1, 即sin,【加固训练】 已知圆的极坐标方程为=4cos,圆心为C,点P的极 坐标为 ,求CP的长. 【解析】如图,由圆的极坐标方程为=4cos知OC=2, 又因为点P的极坐标为 , 所以OP=4,POC= , 在POC中,由余弦定理得CP2=OP2+OC2-2OPOCcos =16+4-242 =12,所以CP=2 .,
展开阅读全文