资源描述
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型,目标定位 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型增长速度的差异.3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.,1.三种函数模型的性质,自 主 预 习,陡,缓,2.三种函数的增长速度比较,(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是_，但_不同，且不在同一个“档次”上. (2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会_. (3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.,增函数,增长速度,越来越慢,即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”),提示 (1)对.根据图象可知结论正确. (2)对.在这几类函数中，指数函数的增长速度最快. (3)错.当0a1时，不一定成立. 答案 (1) (2) (3),2.函数y12x与y2x2，当x0时，图象的交点个数是( ),A.0 B.1 C.2 D.3 解析 当x2，4时，y1y2，当x4时，y1y2，当2x4时，y1y2，当0x2时，y1y2，故交点个数是2，选C. 答案 C,3.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ),A.y2x B.y10 000x C.ylog3x D.yx3 解析 由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断. 答案 A,4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年) 的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到_只.,解析 由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300. 答案 300,类型一 几类函数模型的增长差异,关于x呈指数函数变化的变量是_.,答案 (1)D (2)y2,规律方法 在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxnax.,类型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较,规律方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.,解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1， 曲线C2对应的函数为f(x)lg x，,类型三 函数模型的选择问题,【例3】 某汽车制造商在2015年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2015年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：,如果我们分别将2012，2013，2014，2015定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？,规律方法 解函数应用题的四个步骤 第一步：阅读、理解题意，认真审题. 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化. 第二步：引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 第三步：利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果. 第四步：再转译成具体问题作出解答.,【训练3】 某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每根0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一根铅笔；(2)按总价的92%付款，现要买软皮本4本，铅笔若干根(不少于4根)，若购买铅笔数为x根，支付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？,课堂小结 三种函数模型的选取,1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ),A.y100x B.ylog100x C.yx100 D.y100x 解析 由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断. 答案 D,2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是( ),解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)， yf(x)的图象大致为D中图象. 答案 D,3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为_万件.,答案 1.75,
展开阅读全文